菜单
  
    摘要  本文探讨了柯西准则的等价命题,并给出了相应的证明.
    关键词  柯西准则;函数;级数;等价
       一、引言
        柯西准则是数学分析中非常重要的定理,而且在其他数学分支中也有着广泛的应用.华东师范大学数学系编著的《数学分析》[1]教材在实数的完备性这一章中已指出数列的柯西准则、实数集的确界原理、数列的单调有界定理、区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理这751个基本定理的等价性.已出版的一些参考书和已发表的一些期刊文献[2]-[4]采用循环回路的方式,给出其等价性的证明,本文不再复述.文献[5]中作者给出界点定理与实数完备性的751个基本定理等价的证明. 26860
    本文将探究柯西准则的等价命题,并给出其证明.  毕业论文
       二、等价命题的探索
    命题1[1](数列的柯西准则)数列 收敛的必要充分条件是:对任给 >0,存在正整数 ,使得当 时,有
     .
    在文献[6]中,作者证明了与柯西准则等价的命题:
    数列 有极限的充分必要条件是:对任给 >0,存在正整数 ,使得当 时,有
     .
    受这个结果的启发,我们可以证明柯西准则与下面的定理1等价.
    定理1 数列 有极限的充分必要条件是:存在正整数 ,对任给的 >0,存在正整数 ,使得当 时,有
       .
    证 必要性 设数列 的极限存在,则根据柯西准则可知,存在正整数 ,对任给的 >0,存在正整数 ,使得当 时,有
     ,因此  充分性 存在正整数 ,对于任给的 >0,存在正整数 ,使得当 时,有
                                   .                     
    令 ,则 下面先推导不等式                                       
    成立.
        设 为任意给定正整数,且令 ,由不等式 有          
    且                             .                    
    由 、 不能确定 是否成立,若成立,则不等式
    成立,否则有
     .
    此时由不等式 推出
                                       ,                             
    依据不等式 有
                                       .                           
    令不等式 中 , ,得到
                                .                     
  1. 上一篇:非欧几何的产生与发展+文献综述
  2. 下一篇:“变中求不变”思想在初中数学教学中的渗透策略
  1. 椭圆的生成路径研究

  2. 基于指数模型的最大次序统计量的可靠性性质

  3. 关于运用韦达定理时出现问题的探讨

  4. 学讲计划数学课堂中合作...

  5. 行列式在高中数学中的应用

  6. 多项式拟合在变形数据分析中的应用

  7. 非线性差分方程解的单调性

  8. 当代大学生慈善意识研究+文献综述

  9. 杂拟谷盗体内共生菌沃尔...

  10. 中考体育项目与体育教学合理结合的研究

  11. 十二层带中心支撑钢结构...

  12. 电站锅炉暖风器设计任务书

  13. 大众媒体对公共政策制定的影响

  14. 河岸冲刷和泥沙淤积的监测国内外研究现状

  15. java+mysql车辆管理系统的设计+源代码

  16. 酸性水汽提装置总汽提塔设计+CAD图纸

  17. 乳业同业并购式全产业链...

  

About

751论文网手机版...

主页:http://www.751com.cn

关闭返回