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    摘 要:Lebesgue控制收敛是在Lebesgue积分的基础上推导出来一个重要的定理,因此，本文先介绍了Lebesgue控制收敛的由来，接着由Lebesgue控制收敛与Riemann积分的对比，突出了Lebesgue控制收敛的优越性，具体体现在解决了积分与极限的交换问题，可用来计算积分等式积分的极限、积分的和、数列收敛等一些应用问题。27867
    毕业论文关键词：Riemann积分 、Lebesgue积分、Lebesgue控制收敛、数列收敛
    Inquiry about Lebesgue control convergence theorem
        Abstract:the Lebesgue control convergence is derived on the basis of Lebesgue integral, an important theorem, therefore, this article first introduces the origin of Lebesgue control convergence, convergence and then controlled by the Lebesgue Riemann integral contrast, highlighted the superiority of Lebesgue control convergence, concrete embodiment in solving the problem of the limit of integral and exchange, can be used to calculate the limit of the integral equation integral, integral and series convergences, some application problems.
       keywords:Riemann integral and Lebesgue integral, Lebesgue control convergence, sequenceis convergent .
     目   录
    摘要.
    引言
    1.预备知识
    1.1 Riemann积分的定义.
       1.2 Lebesgue积分的由来.
       1.3 Lebesgue积分的定义
    2.Lebesgue控制收敛定理
    2.1 Lebesgue控制收敛定理的定义
    2.2 Lebesgue控制收敛定理的优越性
    3.Lebesgue控制收敛定理的应用.
           3.1利用Lebesgue控制收敛定理证明
           3.2利用Lebesgue控制收敛定理求极限
    4.结束语.
    参考文献.
    致谢
    关于Lebesgue控制收敛定理的探究
    引言
    勒贝格在 Riemann积分基础上推导出Lebesgue积分，而Lebesgue控制收敛是Lebesgue积分的一条重要定理，是实变函数的核心.
    与Riemann积分相比，Lebesgue积分意义下积分与极限交换顺序的条件比Riemann积分弱，从而很好的解决了积分与极限的交换问题.可用来计算积分等式积分的极限、积分的和、数列收敛、不等式、判断函数连续性等一些应用问题.Lebesgue控制收敛定理在处理一些问题上是相当灵活与自然的.在一定程度上展示了勒贝格积分论的威力，是现代数学的重要工具之一.
    本文首先明确了Lebesgue控制收敛定理的由来，其次，由Riemann积分与Lebesgue积分相比,引出Lebesgue控制收敛定理的作用.最后通过几个实际问题，突出了Lebesgue控制收敛定理的优越性.

    1.预备知识
    1.1 Riemann积分的定义
    黎曼积分也就是我们所说的正常积分:定积分。
    　  对于在区间 上的给定非负函数 ，我们想要确定 所代表的曲线与坐标轴所夹图形的面积，因此可以将此记为 的面积.
    黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值.同时需注意，如 取负值，则相应的面积值 亦取负值.
    1.2 Lebesgue积分的由来
    黎曼在柯西的基础上扩大了积分的应用范围，但即使在有界函数范围内， 积分仍存在很大缺陷，主要表现在以下两个方面.
       （1） 积分与极限可交换的条件太严.
    一列 可积函数的极限函数（即使有界）不一定 可积.因此在积分与极限交换问题上，R积分的局限性就特别突出，为了使 对一系列收敛的 可积函数{ }能成立，通常需要加上一致收敛的条件，可是这一充分条件非常苛刻而且检验起来非常不便，所以大大降低了 积分的效果.
       （2）积分运算不完全是微分运算的逆运算.
    我们知道任一 可积函数的变动上限积分 的变动上限积分 的所有连续点都有 ，即积分后再微分可还原.
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