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但一个可微函数 的导函数 即使有界也不一定 可积[沃尔泰拉(Volterra)的例].因此也就无法成立牛顿-莱布尼茨公式
所以在 积分范围内,积分运算只是部分地成为微分运算的逆.
故鉴于 积分的缺陷,勒贝格在很大程度上摆脱了上述 积分的困境,大大扩大了可积函数的范围,推导出了勒贝格积分.
1.3 Lebesgue积分的定义
(1)(非负简单函数的勒贝格积分)设 为可测集, 为 上的一个非负简单函数,即 表示为有限个互不相交的可测集 , ,…之并,而在每个 上 取非负常数值 ,也就是说
这里 是 上的特征函数.
是 上的勒贝格积分(简称L积分),定义为
设 为可测子集, 在 上的勒贝格积分定义为 在 上的限制 在 上的勒贝格积分,
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