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摘 要：本文首先介绍了二项式定理的相关背景以及什么是二项式定理，接着描述了二项式定理的应用：二项式的系数的基本性质、二项式系数的组合意义、二项式定理在求多项式 系数的应用、二项式定理在组合恒等式证明中的应用. 其次介绍了二项式定理的推广：多项式定理及其应用、二项式反演公式及其应用. 其中本文着重介绍了二项式定理的应用.28762
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毕业论文关键词：二项式定理；组合恒等式；反演公式
The Extensions and Applications of the Binomial Theorem
Abstract：This paper first introduces the background and the applications of the binomial theorem, which are the basic nature and the combinatorial meaning of the binomial coefficient, the applications in resolving the coefficients of of the polynomials and proving combinatorial identities. Secondly, this article describes the extensions of the binomial theorem which involves the polynomial theorem and its applications, the binomial inversion formula and its applications. This text emphatically introduces the application of the binomial theorem.
Key words: Binomial theorem. Combinatorial identities. The inversion formula
目 录
摘 要 1
引言 2
1.二项式定理的相关背景 3
2.二项式定理及其应用 4
2.1二项式定理 4
2.2二项式系数的基本性质 7
2.3二项式系数的组合意义及应用 10
2.4二项式定理在组合恒等式证明中的应用 13
3.二项式定理的推广 16
3.1多项式定理及其应用 16
3.2二项式反演公式及应用 18
4.总结 20
参考文献 21
致谢 22
二项式定理的推广及应用 引言
二项式定理是初等数学中的一个重要定理，其形成过程是组合知识的应用同时也是进一步学习概率统计的准备知识.在高等数学中很多最重要的公式的公共基础有很重要的位置,而二项式定理的推广及应用在初等数学和概率统计中都有重要的理论和应用价值.
二项式定理在中国被称为“贾宪三角”或“杨辉三角”，一般认为是北宋数学家贾宪所首创.它记载于杨辉的《详解九章算法》（1261）书中.在卡西阿拉伯数学家的著作《算数之钥》（1427）中也给出了一个与二项式定理相同的系数表，他所用的计算方法和贾宪的完全相同.在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算数书的封面上刻有此图，但一般称之为“帕斯卡三角形”,因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果.
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杨辉—贾宪三角
但是在1664年和1665年这两年之间，牛顿被迫离开剑桥之前的原因是因为当时出现了流行性瘟疫，然后二项式定理才被牛顿确定下来要去研究.值得注意的是，牛顿只处理了二项式的自乘幂是分数或负数的情况. 在1676年6月13日牛顿式首次提到了二项式定理是在一封信中，这封信是他写给奥尔登堡转给布莱尼茨的，从那以后牛顿就开始进行不断的尝试进行各种推理猜想和证明，终于牛顿的努力没有白费建立了二项式定理.牛顿在建立了二项式以后，立刻就不再使用他之前最早用来求积的插值法，而是把这个定理作为最简单最直接的方法来确定曲线下方的面积.