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随着社会的发展，二项式定理被人们最为广泛的应用于组合原理当中,组合原理又称组合数学或组合论.他研究的很多重心问题都是与数学问题有关并且有一定的规则，但组合原理中的很多的问题都可以说是数学中的精华,组合原理的应用在很多方面也涉及到社会科学和自然科学的领域.例如，它在编码理论、交通运输、通信网络、实验设计、计算机科学、电子工程、等等很多方面很多领域有着特别广阔的被使用的价值，特别的是，二项式定理在计算机科学占有主导地位.它不仅仅是这门学科核心算法研究，而且也是计算机科学的基础知识，而组合算法是算法很重要的一部分.由此可见，对二项式定理的进一步研究和推广，拥有它无可替代的现实意义.
1.二项式定理的相关背景
二项式定理（Binomial theorem） 是指 在 为正整数时的展开式.古时候的古中国、古巴比伦、古印度、古埃及的劳动人民，通过不同的几何图形，认识了这个公式 .它是公式 的特殊形式之一，这个公式有很重要的应用对这个公式来说.二项式定理与杨辉三角是一对很奇特的图形和数字的巧妙相遇，它也把数形结合的这个想法带进了求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数计算 ，当 是较小的正整数，如：
当 ，有 当 ，有 当 ，有 是否有较快的方法?写下 的展开式呢?那么我们就来看一下下面的方法，这个方法展开的原理与上面的方法是相同的，容易看出 的系数表为:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
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这个三角形的形状图形，在中国被称为“贾宪三角”或“杨辉三角”，一些人认为是北宋数学家贾宪第一个创立的.他被记录在杨辉《详解九章算法》之中.历史对贾宪的记载并不是很多，而《释锁算书》早已失传，仅仅知道他是北宋时期楚衍的学生.我们在另外一本元朝朱世杰的《四元玉鉴》书中同样看到了贾宪-杨辉三角的这个完全一样的图形.在卡西阿拉伯数学家的《算术之钥》（1427）这本书中同样的也出现了类似的二项式定理的系数表，他和贾宪所用的计算方法完全是一样的.在欧洲，1527年德国数学家阿皮安努斯在他出版的一本算术书的封面上也有这个三角形的图案.但是在欧洲地区，一些人把这个和贾宪杨辉三角一样的图形叫做“帕斯卡三角形” ,这是因为他发现这个结果的时间和牛顿发现的时间差不多.
牛顿22岁那年，刚好是1665年，这一年他在大学毕业之前把二项式定理的推广到 为分数，也推广到 为负数的形式，而且还给出了二项式定理相关的展开式.二项式定理在高阶等差数列求和组合理论、开高次方，以及差分法中都有着很广阔的应用，是研究级数论、方程理论、数学分析、函数论的有力工具，而起到了在发展中不可缺少的部分就是对于微积分所说的.