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凸函数是数学学科中重要的一类函数，在控制论、运筹学、金融学等众多领域中都有着广泛应用，同时在证明一些比较复杂的不等式方面起着重要作用。目前，世界上许多数学家致力于探讨和研究凸函数与不等式之间的联系，并运用凸函数的一些良好性质优化不等式的证明方法。随着研究工作的不断深入与实际发展的需要，凸函数的概念已有了许多推广，本文主要对其中一类广义凸函数—— -凸函数进行研究，类比凸函数的一些性质、定理，证明了 -凸函数的一些基本性质。利用这些基本性质，本文给出了 -凸函数在一些重要不等式中的应用和推广，例如Jensen不等式、Hermite-Hadamard不等式和Ostrowski不等式，并给出了严格的证明，且在证明过程中发现了 -凸函数的Hermite-Hadamard不等式和Ostrowski不等式之间的联系。最后，给出了s-凹函数的平均不等式及其证明，丰富了 -凸函数的内容。5401
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关键词 凸函数 -凸函数 性质 Jensen不等式 Hermite-Hadamard不等式 Ostrowski不等式
毕业设计说明书（论文）外文摘要
Title Studies on the Properties and Inequalities of s-Convex Functions
Abstract
The convex function is a very important function in Mathematics. It has wide applications in many areas such as Cybernetics, Operational Research and Finance. It plays an important role to prove some complex inequalities.
Nowadays, many mathematicians study the relationship between convex functions and inequalities, and they use some good properties of convex functions to optimize the research methods. As lucubrating into the convex functions, a lot of derivative concepts had been proposed. In this paper,
based on the definition and properties of the convex function, we study a new class of functions, s-convex function. At the same time, we prove some basic properties of s-convex function. Using its nature, we give some applications and derivates of several important inequalities such as Jensen inequality, Hermite-Hadamard inequality and Ostrowski inequality. In the process of the proof, we find some relationship of Hermite-Hadamard inequality and Ostrowski inequality of s- convex function. At last,we give the mean inequality of s-concave functions, which enriches the content of s-convex functions.
Keywords convex function s-convex function properties
Jensen inequality Hermite-Hadamard inequality Ostrowski inequality
目 次
1 引言… 1
1.1 研究意义及选题背景… 1
1.2 本文主要研究内容 1
2 预备知识… 2
2.1 凸函数的基础知识 2
2.2 -凸函数的定义… 2
2.3 一些凸函数的常用不等式… 3
3 -凸函数的性质 5
4 -凸函数的Jensen不等式… 9
5 -凸函数的梯度不等式 11
6 -凸函数的Hermite-Hadamard型不等式和Ostrowski不等式… 13
7 特殊平均值上的应用… 21
8 -凹函数的平均不等式 22
结论 … 23
致谢 … 24
参考文献25
1 引言
1．1 研究意义及选题背景
数学问题的研究中，经常同时存在若干个量，研究它们之间的相互关系，常常归结于不等式问题。在纯数学与应用数学的研究中，表示量与量之间的关系时，并不是所有的问题都可以用等式来解决，在很多时候需要用到不等式，运用不等式我们可以得到某一个界限，对所求的结果加以限制来求解。凸函数的定义本身就是用不等式来引入的，所以凸函数的许多理论研究均属于不等式理论范畴。凸函数在其它众多学科中均有重要应用，如工程与管理科学、数理经济、最优化理论及泛函分析等。