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随着数学工具在各个研究领域的广泛应用，凸函数的作用逐渐显现出来。为了加强凸函数在实践中的应用，需要将凸函数的概念加以推广。
作为广义凸函数中的一类，Orlicz在1961年首次在 函数中提出了 -凸函数的定义 （即定义2.3中的第一类 -凸函数），并将这类函数运用到Orlicz空间理论的研究中 。（当函数 满足 且 连续单调非减时，称函数 为 函数）。随后，Breckner在1978年对定义进行改进和推广，提出了 -Breckner凸函数的定义（即定义2.3中的第二类 -凸函数） 。之后许多国内外学者从 -凸函数的定义出发，将凸函数的一些性质及适用的不等式推广到 -凸函数上，证明了许多性质良好、形式优美的不等式 。通过对 -凸函数的研究，不仅能够丰富凸函数的内容，更能为许多不等式的证明与推广提供更开阔的思路。
本文考虑到 -凸函数自身特殊的性质，认真选取了几类凸函数中有重要意义和广泛应用的不等式，根据多年来数学家们对这些不等式研究及推广的结果，将其运用到 -凸函数上，旨在能够得到与凸函数不等式定理类似的不等式定理。通过比较，加深凸函数知识的理解，熟练地将凸函数的理论在不等式的证明中加以应用。
1．2 本文主要研究内容
本文主要分成个部分：
第二部分，系统介绍一下凸函数、 -凸函数及几类常用不等式的基础知识。
第三部分，给出 -凸函数的一些基本性质，并加以证明。
第四、五、751、七部分，通过研究凸函数的不等式，将其形式在 -凸函数中进行推广，并根据凸函数不等式的证明思路，证明 -凸函数的不等式定理。在推广过程中，找到不同类不等式之间的联系。
第八部分，将凹函数的平均不等式推广到s-凹函数中，得到新的平均不等式，从而丰富s-凸函数的内容。
2 预备知识
首先回顾一下已有的知识。
2．1 凸函数的基础知识
定义2.1.1 设 为定义在区间 上的函数，若对 上任意两个点 ， 和实数 ，都有： ，
则称 为区间 上的凸函数，反之则为凹函数 。
若在定义2.1.1中取 时，即 ，
这时称函数 为区间 上的中点凸函数，也称Jensen意义下的凸函数 。
由凸函数的定义，即可得到所谓的Jensen不等式。
定理2.1.1(Jensen不等式) 若 为定义在区间 上的凸函数，则对任意 ， ， ，且 ，都有：
，
式中当且仅当 时等号成立。
Jensen不等式的证明只需根据凸函数的定义，使用数学归纳法即可得到。
Jensen不等式是将凸函数的定义从两个点推广到多个点的不等式，应用十分广泛。本文将该不等式推广到 -凸函数中，得到 -凸函数的Jensen不等式。
2．2 s-凸函数的定义
-凸函数是凸函数的一类推广函数，这类函数的定义最初是由Breckner和Orlicz分别在他们的论文中提出的。随后H. Hudzik 和 L.Maligranda等学者对 -凸函数进行了更为深入的研究 。
定义2.2.1 函数 ，这里 ，若对任意的 ,
, ， ，都有：
，
则称函数 在 上是第一类 -凸函数，记为 ，反之则称其为第一类 -凹函数。
定义2.2.2 函数 ，这里 ，若对任意的 ,
, ， ，都有：
，
则称函数 在 上是第二类 -凸函数，记为 ，反之则称其为第二类 -凹函数。
显然，当 时，两类 -凸函数均为 上的凸函数。
2．3 一些凸函数的常用不等式
1881年，Hermite首先提出了凸函数的一个积分不等式 ，并由Hadamard在1893年对该不等式进行了证明 ，因此通常称该不等式为Hermite-Hadamard不等式。