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定理2.3.1（Hermite-Hadamard不等式） 函数 ，若 是定义在实数区间 上的凸函数，则有：
， （1）
其中 。仅当 为线型函数时等号成立。该不等式说明在中点凸函数的不等式两端之间可用积分的平均值插入。
证明：由函数 的凸性，对于 ，有
，
不等式左右两边积分即得（1）式中右边不等式。
为证左边不等式，令 ，则
.
证明完毕。
Hermite-Hadamard不等式是凸函数的性质之一，也是一个含有积分形式的不
等式。多年来，对Hermite-Hadamard不等式的推广研究一直是国内外学者研究的热点 。目前，对于凸函数Hermite--Hadamard不等式的研究已经从经典凸函数拓广到多种类型的广义凸函数上，鉴于此，本文选择凸函数的Hermite--Hadamard不等式作为研究对象之一，针对 -凸函数进行推广。
1938年，Ostrowski证明了如下不等式
定理2.3.2（Ostrowski不等式） 函数 在 ( 是区间 的内部)上可微， ，若 ,则对任意 的有：
， （2）
其中 。
Ostrowski不等式是一个关于积分的重要不等式，给出了函数 在区间 内某一点的值与其积分平均之间的一个近似。关于Ostrowski不等式的推广及有关结果，可以参考Mitrinovic的相关文献 。
由Hermite-Hadamard不等式和Ostrowski不等式的定义可以看出，这两类不等式中具有相同的积分形式，因此本文将这两类不等式“捆绑”起来进行研究，便于得出 -凸函数与普通凸函数之间的联系和区别。
3 s-凸函数的性质
本部分从两类 -凸函数的定义出发，研究它们各自的性质，并做出比较 。
定理3.1 令 ，
(a) 若 ，则 在 上单调递增，且 ；
(b) 若 ，则 在 上非负。
证明: (a) 设 ， ,根据 -凸函数的定义有：
.
令
,
则 在 上连续，在 上单调减，在 上单调增，并且 ，可以得到
， . （3）
若使 ，则 。由于对任意的 ，（3）式均成立，则
.
综合以上可以得到
， , （4）
因此，取 带入（4）式，则有：
.
这就证明了函数 在 上单调递增。
对 ,我们有
注：以上结果对普通凸函数不适用，也就是说，当 时不满足。因为凸函数 ，不必是单调非减或非负的。
下面我们给出 -凸函数的例子:
例3.1 取 ， ， ，定义
，
我们可以得到以下结果：
(a) 若 ， ，则 ；
(b) 若 ， ，则 在 上单调递增，而不是在 上；
(c) 若 ， ，则 ；
(d) 若 ， ，则 .
为了证明(a),我们先证明一下两种情形：
. ,即 ，则：
. . ,且 ，则： .
同理，其他情形也满足。
同样得，我们可以证明结果(b), (c) 和(d)都是成立的。
从一些已知的 -凸函数的，我们可以根据以下定理得到其他的 -凸函数。
定理3.2 令 ，若 ，函数 是凸函数且关于每个变量均单调递增，则如下定义的函数 ：
，
特别的，若 ，则 。
证明：若 ,则对所有的 ， ，可以得到
.
因为 和 在 上均为单调非减的凸函数，所以服从我们以上证明的定理。
下面我们讨论在什么情况下， -凸函数的定义中的条件 （ ）可以削弱成 （ ）。