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定理3.3 (a)令 ，对任意的 , ， ，不等式
成立的充分必要条件为 。
(b)令 ，对任意的 , ， ，不等式
成立的充分必要条件为 。
证明：(a)必要性：只需取 ， ，则显然成立。
充分性：假设 ， ， ，令 ， ，则 ，因此可以得到
.
(b)必要性：取 ，可知 ，然后利用定理3.1（a）可以得到 ，因此 。
充分性：假设 ， ， ，令 ， ，则 ，从而有
.
证明完毕。
运用上述定理，我们可以得到两类 -凸函数之间的关系。
定理3.4 (a)令 ，若 且 ，则 。
(b)令 ，若 且 ，则 。
(c)令 ，若 且 ，则 。
证明：(a)假设 且 ， ， ， ，则 ，根据定理3.3(b),可得
,
这就表明 。
(b)假设 ， ， ， ，则可得
,
这就表明 .
(c) 假设 , ， ， ，则 ，在根据定理3.3(a),可得
,
这就表明 。
4 s-凸函数的Jensen不等式
由凸函数的Jensen不等式（定理2.2.1），本部分对其进行推广，得到 -凸函数的Jensen不等式，并给出证明。
定理4.1 若在区间 上函数 ，则对任意 ， ， ，且 都有
证明：首先我们证明不等式
我们在 上使用数学归纳法：
（1）当 时，由定义2.2.1，不等式（5）显然成立；
（2）假设当 时，不等式（5）也成立；
（3）当 时，假设任意的 ，满足
若 时，则 ，显然不等式（5）成立；下面考虑 ，这里令 ，…, ,则有 ，由（2）中假设可得
综上所述，不等式（5）成立。
因此只需取 ，定理中的不等式即成立。
证明完毕。
定理4.2 若在区间 上函数 ，则对任意 ， ， ，且 都有
. （6）
证明同定理4.1。
这里我们将上述Jensen不等式推广到积分形式。
定理4.3 若在区间 上函数 ，函数 在区间 上可积，函数 连续， , , ，且 则
.
证明：取 ，由（5）式得
.
令 ，由函数积分的定义，即得所需结论。
证明完毕。
定理4.4 若在区间 上函数 ，函数 在区间 上可积， , , ，且 则
.
证明同定理4.3。
5 s-凸函数的梯度不等式
从 -凸函数的两类定义来比较来看，第一类 -凸函数需要满足 ，而第二类 -凸函数只需要满足 ，显然在不等式中处理指数函数是十分复杂的工作。故在第五、第751和第七部分只考虑第二类 -凸函数。
根据凸函数的定义，可以推出凸函数的以下简单的不等式。
定理5.1 若函数 为区间 上的凸函数，则对于 ，有
.
证明：设 ， ， ，则 ， ， ，由凸函数的定义可以得到
,
类似可证
.
不等式依次取 ， ， 和 ， ， ，即可推的要证的不等式。
证明完毕。
推论5.2 若 为区间 上的凹函数，则函数 单调递增。
证明：只需在定理5.1中取 ，即可得到结论。
推论5.3 若 为区间 上的凸函数，则对于区间 上任意三点 ，有
.
上述不等式从几何上看，是凸函数梯度之间的关系，我们将它命名为梯度不等式。
下面将上述凸函数的梯度不等式推广到 -凸函数中。
定理5.4 若函 为区间 上的第二类 -凸函数，当则对于区间 上任意三点 ，有
.
证明：设 ， ， ，则 ， ， ，则由 -凸函数的定义可以得到
.
因为 ， ，所以 ，即。而由定理3.1，函数 非负，故上述不等式可变为：