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摘 要：本篇论文主要介绍留数定理及留数定理在计算积分和级数求和中的应用.理解了留数定理与复变函数积分之间的联系之后,求复变函数积分可以用留数定理来求解.利用留数定理计算实积分就是将实变函数转化为复变函数沿闭合回路曲线的积分,再将积分计算转化为留数计算.并且应用留数定理可以给出一种级数求和的方法.29564
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毕业论文关键词：留数定理；积分；级数求和
The Application of Residue Theorem
Abstract:This paper mainly introduces the residue theorem and the residue theorem in the calculation of integral and the application of series summation. Understand the residue theorem and the connection between the complex function integral, can be used for complex function integral can be solved by residue theorem.The residue theorem is used to calculate the real integral is real variable function can be converted to complex function integral along the closed loop curve, and then to transform integral calculation for residue is calculated .And the application of residue theorem can be given a series summation method.
Key word:Residue theorem;Integral;Series summation
目 录
摘 要 1
引言 2
1.留数的定义及留数定理 3
2.留数的计算方法 4
3.留数定理在积分计算中的应用 7
3.1 用留数定理计算复积分 7
3.2 用留数定理计算实积分 8
3.2.1 计算 型积分 8
3.2.2 计算 型积分 9
3.2.3 计算 型积分 11
3.2.4 计算 型积分 11
4.留数定理在级数求和中的应用 13
5.结束语 15
参考文献 16
致谢 17
留数定理的应用 引言
留数定理是柯西积分定理的推广,泰勒级数和洛朗级数与其密切联系,留数在复变函数论本身和实际应用中都有其重要地位.在复分析中,留数定理是用来计算解析函数沿闭曲线的路径积分的一个有力的工具,也可以用来计算实变函数的积分和复变函数积分.留数定理和其有关的推论在大多数问题上都有重要的作用,例如积分计算和其有关定理的计算问题,级数求和的问题等等.
留数定理应用到计算积分中,会使计算更加简便.应用留数定理使沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数,运用留数定理把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分,从而把要求的积分转化为留数的计算.留数定理和它的相关推广在很多问题上都有重要的运用,并且留数与其相关定理与解析函数在孤立奇点上的洛朗展开式问题,柯西复合闭路定理问题都有相当密切的关系.
利用留数定理计算复变函数积分和实变函数积分,理解了留数定理与复变函数积分之间的联系之后,求复变函数积分可以用留数定理来求解.用留数定理计算实变函数积分就是将实变函数转化为复变函数沿闭合回路曲线的积分,再将积分计算转化为留数计算.在计算定积分时,若原函数没有办法求出,就要运用级数求和,用留数定理可以提供一种级数求和的方法.留数定理在实级数的求和中也有非常重要的作用,若被积函数的原函数不能计算出来或数项级数的求和有困难的时候用留数定理可以简单不少.无穷级数求和应用于许多逼近理论、数值计算中.应用留数定理可以对无穷级数进行求和,这个方法是将级数求和转变成相应某复值函数在一个闭域中的留数之和.留数定理的应用很广泛,大多数教材都介绍了用留数定理计算复杂的实积分,其实,实分析中的一些问题,如果把它放在复平面内,用复变函数的理论进行思考,会得到意想不到的结果.