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1.留数的定义及留数定理
柯西积分定理 设函数 在 平面上的单连通区域 内是解析, 为 内的任一条周线,则
.
柯西积分公式 设区域 的边界是一条周线（或复周线) ,有函数 在 内解析,在 上连续,则
.
若函数 在点 是解析的,周线 都在点 的某一个邻域内,且包括点 ,则由柯西积分定理
.
但是,如果 是一个孤立奇点,且周线 都在 的某个去心邻域内,并且包围点 ,则积分
的值,一般不为零.而且利用洛朗系数公式很容易计算出它的值来.
定义1.1 设函数 以有限点 为孤立奇点,即 在点 的某去心邻域 内解析,则称积分
为 在点 的留数（residue）,记为 .
定理1.1 （柯西留数定理） 在周线或复周线 所范围的区域 内,除 外解析,在闭域 上除 外连续,则（“大范围”积分）
. (1.1)
2.留数的计算方法
要想应用留数定理,必须要知道计算留数的具体方法,而要知道在孤立奇点 的留数时,一般要用到洛朗展开式计算留数.下面的这个定理是求 阶极点处留数的公式,避免每求一个极点处的留数,都去求一次洛朗展式.不过公式对于阶数过高的极点,计算起来未必简单.