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摘 要: 广义积分主要包括: 无穷限的广义积分和无界函数的广义积分, 以及含参变量的广义积分. 无穷限广义积分又可称无穷积分, 无界函数广义积分又可称无界函数积分或瑕积分. 广义积分是定积分突破条件限制的一个推广, 本文就针对广义积分的一致收敛性论述广义积分, 首先, 介绍广义积分的定义以及分类; 其次, 介绍柯西判别法、微分法和级数判别法对广义积分一致收敛问题的证明及应用; 最后, 进一步学会深入探讨的数学思想.29565
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毕业论文关键词: 广义积分; 收敛; 发散; 一致收敛性
Research on the Problem of Uniform Convergence for the
Generalized Integral
Abstract: Improper integral includes: infinite limits of improper integral and unbounded functions, improper integrals, and generalized integral containing parameter. Infinite integrals can be called an improper integral, unbounded functions improper integral and infinite integral and defect integral. Condition of generalized integrals is definite integrals to break through an extension of the restrictions. This article aims at the convergence of generalized integral discusses improper integrals, and introduces the definitions and classifications of generalized integral; followed in introducing the Cauchy criterion, differential and series identification method of generalized integral proof and application of uniform convergence problem; at last learned to explore mathematical ideas.
Key words: Improper integral; Convergence; Divergence; Uniform convergence
目录
摘 要 1
引言 2
1 无穷限广义积分 3
1.1无穷限广义积分的定义 3
1.2含参量无穷限反常积分 3
2 瑕积分 9
2.1瑕积分的定义 9
2.2 含参量瑕积分 10
3在证明相关定理时一致收敛的Cauchy准则的应用 13
3.1在证明牛顿-莱布尼茨公式时Cauchy收敛准则的应用 14
3.2在证明一致连续性定理时Cauchy收敛准则的应用 14
结束语 15
参考文献 16
致谢 17
广义积分中一致收敛问题的探讨
引言
无穷限广义积分(也称作无穷积分)、无界函数广义积分(也称作无界函数积分或瑕积分)都称为广义积分, 广义积分又被称为反常积分或者是非正常积分. 因为定积分的应用具有一定的局限性, 为了满足现代生活应用的需求化, 我们需要做的事情那就是突破定积分的这两个限制条件, 将定积分的概念加以推广, 把积分区间的有界拓广到无穷限区间积分, 被积函数在积分区间上的有界拓广到无界函数积分也即是瑕积分, 这就是我们本文所论述的广义积分也或者是反常积分.
我们在研讨广义积分性质的同时, 一致收敛同样也发挥着重要作用, 即广义积分的一致收敛性在《数学分析》[1]一书中是很重要的知识点, 学生掌握其知识点并且也有一定的难度, 因此, 我们总结出广义积分一致收敛性的判别法, 如魏尔斯特拉斯M判别法[2]、狄利克雷判别法[2]等判别法, 这可以让学生对此有更深刻的理解和感悟，以便更好地培养学习的兴趣, 掌握数学知识并投入到社会生活中.
在科学技术迅速发展的今天, 微积分的发展非常快速, 并且广义积分是随着高等数学发展起来的近代数学, 同时是高等数学中的一个很重要的概念, 为其他的学科解决了计算上的许多难题, 被广泛应用于各种问题, 也对其发展起了促进作用. 因此广义积分的一致收敛性在解决各种实际问题时, 它起到了至关重要的作用, 本论文根据广义积分的定义及其性质来讨论它的敛散性, 主要是对无穷限积分、无界函数积分的敛散性和含参变量广义积分的一致收敛性的判别方法进行探讨.