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摘 要：本文主要是在前人关于代数学基本定理证明的基础上，将复分析，拓扑及代数中相关的理论运用到定理的证明中.从定理及其推论的准确叙述入手，引出了此定理的证明历程，重要的是给出了现代数学中对于此定理及其推论的几种比较完美而且易于明白的复分析证明，然后又从拓扑和代数的角度给予不同的证明，并给出了证明所涉及的各种定理和相关理论的内容，在需要的部分给出了所应用的定理的证明.29898
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毕业论文关键词：代数学基本定理；复分析；代数学；拓扑学
Several Methods to Prove the Fundamental Theorem of Algebra
Abstract: This article is mainly about the method to prove the fundamental theorem of algebra based on the previous study. The related application of complex analysis topology and algebra is applied to the proof of the theorem. In this paper, first introduces the content and inferences of the fundamental theorem of algebra, then introduce the history of the theorem, the most important is give several modern methods perfect and easy to prove this theorem in this paper, including the application of knowledge of complex analysis, algebra, topology. The proof of theorem and the content of the relevant theories is given in this paper, a part of the application of the theorem is given in need.
Key words：The fundamental theorem of algebra; Complex analysis; Algebra; Topology
目 录
摘 要 1
引言 2
1.基本内容及其推论 3
1.1定理的内容 3
1.2定理的推论 3
2.定理的证明 6
2.1代数学基本定理证明的历程 6
2.2复分析应用于证明 6
2.2.1应用刘文尔定理证明定理 7
2.2.2应用儒歇定理证明定理 7
2.2.3应用最大模原理证明定理 8
2.2.4应用留数定理证明 9
2.2.5应用线性代数与柯西积分定理证明定理 10
2.2.6应用函数模的性质证明定理 11
2.2.7应用辅角原理证明定理 12
2.3拓扑学应用于证明 13
2.3.1应用连续映射证明定理 13
2.3.2应用平均值定理和拓扑理论证明定理 14
2.4代数应用于证明 15
2.4.1应用西罗定理和本原元定理证明定理 15
2.4.2应用代数的方法证明定理 16
3.结束语 17
参考文献 18
代数学基本定理的几种证明
引言
代数学基本定理在整个数学领域占据重要的地位，尤其是在20世纪之前，由于那时的代数的研究对象例如二次型、矩阵以及各种超复数系等都是在实数域或者复数域内讨论的，而且初等代数的核心主要为多项式的解，故代数学基本定理在那时被公认为是代数的一个基本的理论.在当今的数学领域中，这一定理作为基本代数的基础仍具有举足轻重的地位.对于这一定理的探究的历史也未曾中断过.
关于代数学基本定理的证明目前有200多种不同的证明，本文在前人如达朗贝尔、欧拉、高斯的基础上运用多个领域的数学知识对此定理进行证明.这一定理首次完整的证明是由高斯在其的博士毕业论文中给出的.尽管很多数学家对代数学基本定理的内容进行了准确的证明，而且此定理也被称为代数学定理，但目前尚未有完整的纯粹代数的方法证明，这是因为代数知识还不够的缘故.
本文在查阅了多个有关文献以后，系统归纳分析了几种相对完美的证明方法后并将证明内容及其相关的数学知识进行阐述.本文从定理的内容及其推论入手，重点介绍了应用复变函数中的刘文尔定理、最大模原理、柯西积分定理、辅角原理等理论证明定理；以及多项式的拓扑性质结合拓扑学的相关理论的证明；最后给出了运用代数知识对这一定理的证明方法.在每给出一种定理的证明方法时都会给出这种方法所依赖的数学理论，并在必要的时候给出理论的证明.