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带权的Hardy-Littlewood-Sobolev型积分方程组的解的性质
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摘要 本文研究带权的Hardy-Littlewood-Sobolev型积分方程组 (1)和分数阶偏微分方程组 (2)
其中 . 由于 ，我们需要更复杂的分析技巧来处理 情况. 首先证明积分方程组(1)和分数阶偏微分方程组(2)的等价性. 对于积分方程组(1)，我们证明可积解是局部有界的. 此外，我们也利用在Chen-Li-Ou中引进的积分形式的移动平面法证明局部有界正解关于某个轴是对称的，且关于整个轴递减的. 因此，根据等价性可得PDE方程组的正解也有相关性质. 本文将前人的结果推广到一般情况.
关键词 带权的Hardy-Littlewood-Sobolev型积分方程组；分数阶偏微分方程组；移动平面法；对称32021
1 引言
本文考虑带权的Hardy-Littlewood-Sobolev型积分方程组 (1.1)
解的性质. 其中 （1.2）
这个方程组与如下的分数阶奇异的偏微分方程组 (1.3)
相关. Chen和Li在文献[1]指出(1.1)与Stein和Weiss[2]引入的带权Hardy-Littlewood-Sobolev(HLS)不等式的最佳常数是相关的.
(1.4)
其中
和 . (1.5)
特别地，当 , 时，(1.1)变成了包含Riesz位势的积分方程组 (1.6)
(1.3)变成了著名的 阶Lane-Emden型偏微分方程组 (1.7)
其中 为正整数且 满足临界条件 .
Chen和Li最近在文献[3]中证明了HLS型积分方程组(1.6)与(1.7)是等价的. Chen，Li和Ou在文献[4]中引入了积分形式的移动平面法，证明HLS型积分方程组(1.6)解的径向对称性. 因此，(1.6)式解的径向对称性说明了(1.7)式解的对称性.
对于(1.1)的积分正解，当 时，Jin和Li[5,6]证明了它的径向对称性和单调性以及最佳可积性. 随后在文献[7,8,9]中，Li，Lim，Lei和Ma估计了当 和 的渐近速率. 在文献[10]中，Lei-Lv首先证明了(1.1)和(1.3)的等价性，其次证明了(1.1)的积分解一定是局部有界的. 此外，他们也利用在Chen-Li-Ou中引进的积分形式的移动平面法证明局部有界正解是关于某个轴是对称的，且关于整个轴递减的.
当 时，对于(1.1)的积分正解，在文献[10]中，Onodera得到了它们的径向对称性、单调性以及最佳可积性，也估计了当 和 的渐近速率.
命题1.1 设 是方程组(1.1)在(1.2)条件下的一对非负解. 那么 和 在远离原点处是光滑的、轴对称的和在径向方向是严格单调递减的. 此外，除非 ，否则对称中心必须在原点.
因为在(1.4)中， ，那么 这个假设是自然的. 可积解 被称作有限能量解.
命题1.2 在命题1.1同样的假设下，得到
和
其中 满足这里， .
命题1.3 在命题1.1同样的假设下，我们有如下结论：
在原点附近. 若 ，则 （1.10）