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摘要 本文利用若尔当标准形理论，对第751届全国大学生数学竞赛（赛区赛）试题中一道高等代数试题进行了探讨，给出了问题的另一种证明方法，同时把该问题的结论推广到更为一般的情形。
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关键词 数学竞赛；矩阵方程；若尔当标准形； 解在高等代数中,介绍了矩阵的等价标准形、合同标准形和相似标准形问题,这些都是高等代数的重要的内容和知识点.对于高等代数的学习来说,既要掌握这些理论的基本概念和思想方法,同时也要能够利用这些理论来解决问题,而能否灵活运用这些理论——标准形思想，来解决问题是衡量我们是否真正掌握或学好高等代数的一个重要的判别依据.在许多高等代数问题中,利用各种标准形思想来解决问题,这是一个基本的思想方法.本文针对第751届全国大学生数学竞赛预赛（数学类）试题中的一个高等代数题目,利用矩阵的若尔当标准形理论来做一些探讨.
1. 竞赛题的参考证明及标准形方法证明32022
第751届全国大学生数学竞赛预赛(数学类)试题第五题题目 设 为给定的正整数，证明对任何的正整数 ，存在 阶方阵 ，使得
， (*)
其中 为 阶单位矩阵,而 .
该问题的参考证明分为三步：第一步 令 ,
则原方程变为
.第二步 考察矩阵
则有结果 ,
其中 由 确定, 由 确定.
类似地,有 .
第三步 观察下列方程组
直接可看出该方程有解,命题得证.
参考证明是根据问题的特点给出的,具有较强的技巧性,而且其中有些表述不容易刻画清楚,比如 和 的展开式中的系数,这是证明中存在的一定的局限性.如果运用若尔当标准形的理论来证明就可较好地避免这个问题.
该问题的标准形思想方法证明
首先,容易通过计算得到矩阵 的初等因子组为 ,从而 的若尔当标准形为
,从而 的若尔当标准形为 ,
于是,存在 阶可逆阵 ，使 .
为了证明结论成立,只需要证明存在矩阵 ,使得 相似于 ,即只需证明有矩阵 ,使得 的初等因子组 .为此,构造矩阵