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摘 要:本文主要分三部分来讨论二阶变系数微分方程的求解问题,首先利用特定指数函数法、构造法来求解二阶变系数线性齐次微分方程,其次利用降解法、常数变易法、构造级数解法来解决非齐次微分方程,最后讨论二阶变系数非线性微分方程的问题.34220
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毕业论文关键词:刘文尔公式;构造方法;常数变易法;通解;特解
Studying on the Solving Method of the SecondOrder
Differential Equationwith Variable Coefficients
Abstract:This paper is pided into three parts to discuss the solution of second order variable coefficient differential equation, first of all, construction method by the use of specific index function to solve the second order variable coefficient linear homogeneous differential equation, the second use of degradation, constant variation, tectonic progression method to solve the nonhomogeneous differential equation, the last discuss the problem of second order nonlinear differential equation with variable coefficients.
Key words:Liouville formula;Constructor;Constant variation method;The general solution; Special solution
目 录
摘 要 1
引言 2
1.二阶变系数齐次线性微分方程解的求法 3
1.1常数变易法 3
1.2特定指数函数法 4
1.3构造法 4
2.二阶变系数非齐次微分方程解的求法 8
2.1降阶法 8
2.2常数变易法 10
2.3构造级数解 12
3.一类二阶变系数非线性微分方程的通解 15
参考文献 18
致谢 19
二阶变系数微分方程求解方法的研究 引言
常微分方程作为偏微分方程和其他学科的基础,一直以来受到许多专家和学者的重视.根据常微分方程的基本理论,任何非齐次线性常微分的解都可以归结为齐次线性微分方程的基本解.对于齐次微分方程而言,高阶的常微分方程可以通过降阶法将其转化为一阶或二阶的微分方程的求解,所以在讨论微分方程的求解问题时,低阶常微分方程的求解起着很非常重要的作用.虽然二阶变系数微分方程很难求解,但在一般的著作中它通解的结构有着十分完美的结论,但却没有通用的方法.
许多专家学者在教材或文献中发表了一些特殊函数微分方程的求解方法,比如将自变量的对数变换为常系数,把变系数微分方程转化为常系数微分方程来求解,例如：文献[1]利用变量代换的多样性,解决了一类二阶变系数微分方程的求解问题.文献[10]利用构造法来构造二阶变系数齐次线性微分方程的非零特解,从而达到求解的目的.但是,通过某种特殊的变换来解决微分方程中的一类方程是没有一般求解方法的,所以学者们对二阶变系数微分方程的求解方法的研究有着十分浓厚的兴趣.
本文在前人研究的基础之上,又查阅了大量的文献、参考资料以及相关二阶变系数线性微分方程的著作和教材,最后通过对微分方程理论的深入研究,将方程分为三部分来讨论.首先讨论二阶变系数线性齐次微分方程,其次研究非齐次线性微分方程,最后讨论一类二阶变系数非线性微分方程的问题.
1.二阶变系数齐次线性微分方程解的求法
若已知二阶变系数齐次线性微分方程
(1)
的一个非零特解 ,则可根据刘文尔公式求得齐次方程的另一个特解