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而上、下极限的概念是关于极限概念的进一步延伸，由于它们在判断正项级数收敛性的问题中的重要作用，不仅在数学分析中发挥着重要的作用，在其他学科中的作用也不容小觑.
本文是建立在数列，极限这些我们所熟知的基本概念之上，先讨论了数列的上下极限的相关理论，进一步将其推广到函数，集列的上下极限的定义与相关性质理论.
1.数列的上下极限的定义及其性质
1.1 数列的上下极限的定义
本文先给出数列｛ ｝的聚点的概念如下：若在数 的任何一个邻域内都含有数列｛ ｝的无穷多个项，则称 为｛ ｝的一个聚点.
定义1[5] 有界数列（点列）｛ ｝的最大聚点 与最小聚点 分别称为｛ ｝的上极限与下极限，记作
= ， =
定义2[5] 对于任一有界数列｛ ｝，它的所有子列的极限所组成的数集的最大值称为这一数列的上极限，最小值称为这一数列的下极限.
定义3[5] 对于任一有界数列｛ ｝，去掉它的最初k项之后，剩下来的仍然是一个有界数列，记这个数列的上确界为 ，下确界为 ，亦即
= ｛ ｝= ｛ ，…， ，…｝，
= ｛ ｝= ｛ ，…， ，…｝， ， ，…
于是得到数列｛ ｝和数列｛ ｝，可见数列｛ ｝是单调递减的，｛ ｝是单调递增的，由此这两个数列的极限存在，称｛ ｝的极限为｛ ｝的上极限，记作 ，称｛ ｝的极限为｛ ｝的下极限，记作 .也就是：
= ｛ ｝，
= ｛ ｝，
对于无界数列，有如下结论
（1）数列｛ ｝无上界而有下界.
按定义1，扩充聚点可以为 ， ，可见，数列｛ ｝的最大聚点是 ，而最小聚点可能是一个有限数，也可能是 .