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    假设衍生证券价格 依赖于标的资产价格 ,则 一定是 和时间 的某一函数. 由伊藤引理得    (2.3.2)
    式(2.3.1)和(2.3.2)的离散形式分别为
        (2.3.3)
    (2.3.4)
    式中 和 分别是 和 在短时间间隔 后的变化量. 由于 和 遵循相同的文纳过程,所以两式中 应该相同. 这样适当地选择股票和衍生证券组合就可以消除不确定项 .
    为了消除 ,我们构建了一个包括1单位衍生证券空头和 单位标的资产证券多头的组合. 令 代表该资产组合的价值,则有结果:    
    在 时间后,该资产组合的价值变化为    (2.3.5)
    将 和 代入式(2.3.5),得   (2.3.6)
        由于式(2.3.6)中不包含 ,所以在时间间隔 后该组合的价值必定无风险,其在 后的顺势收益率一定等于无风险利率. 否则,套利者就可以通过套利获得无风险收益率,所以结果应该是:(2.3.7)
    将式(2.3.7)代入式(2.3.6)得   
    整理后得 (2.3.8)
    式(2.3.8)就是著名的Black-Scholes偏微分方程. 这个方程适用于价格取决于标的资产价格 的所有衍生证券定价.

    2.3.2 边界条件
    方程(2.3.8)对应于所有标的变量为 的衍生证券,该方程有很多解. 为了保证它有唯一的解,我们需要给出衍生证券所满足的边界条件.
    对于欧式看涨期权来说,关键的边界条件为
        当 时. (2.3.9)
    当 时,期权没有价值,所以边界条件为 (2.3.10)
    当 时, 期权的价值变成股票的价值,即 (2.3.11)
    根据边界条件式(2.3.9),式(2.3.10)和式(2.3.11),可以求解方程(2.3.8).

    2.3.3 Black-Scholes期权定价公式  

    欧式看涨期权价格满足偏微分方程(2.3.8),于是有
       (2.3.12)
     
        
        
    方程(2.3.12)类似扩散方程,但它有更多的项.
    为了便于求解,令
        
    则 ,  
    故有



    方程(2.3.12)变为
        
        
        
    即(2.3.13)
    其中 此时,终止条件转化为初始条件
     
    注意到方程(2.3.13)中仅包含一个参数 令 其中 和 是待定的常数. 代入式(2.3.13)有结果
     (2.3.14)
    选择 和 ,使其满足  
     
    求解两式,得  
    这样,我们有    
    式中 满足  
     
    由偏微分方程知识有   
    作变换 所以
    其中
    是正态分布的累积分布函数;将 代换为 得到   
    将 和 代入式(2.3.15),再利用

    整理后得   
    其中  

    总结上述结论,我们有如下定理:
    定理2.3.1(Black-Scholes欧式期权定价公式)  到期时刻为 ,行权价格为 ,标的资产价格 服从几何布朗运动的股票欧式看涨期权的价格为  
     (2.3.16)
    根据欧式看涨期权和看跌期权之间的平价关系,容易得出不支付红利股票的欧式看跌期权的定价公式:
      (2.3.17)
    2. 4 期权定价的应用
    例:附表是浦发银行在2013年1月到4月的股票走势. 以收盘价为准,计算价格.
    (1)计算各个参数:
    利用收盘价的数据求得均值为10. 525 方差为0.353 时间差为73天 一年期固定存款利率为3% 即 , , ,
     ,
     .
    (2)计算期权的价格. 将上述计算结果代入式(2. 3. 16)和式(2. 3. 17),有
     
     
    matlab程序:
    S=10. 525;
    X=10. 525;
    r=0. 03;
    sigma=0. 353;
    time=0. 203;
    time_sqrt=sqrt(time);
    d1=r*time_sqrt/sigma+0. 5*sigma*time_sqrt;
    d2=d1-(sigma*time_sqrt);
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