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a1=normcdf(d1,0,1);
a2=normcdf(d2,0,1);
a3=normcdf(-d1,0,1);
a4=normcdf(-d2,0,1);
c=S*a1-X*exp(-r*time_sqrt)*a2 %欧式看涨期权定价
p=X*exp(-r*time_sqrt)*a4-S*a3 %欧式看跌期权定价
c =
0. 7350
p =
0. 5936
由推导过程可知, 需要专业的数学知识很多, 要求很好的积分功底, 而对金融专业出身的人很难理解, 也很难用于证明其他期权产品定价问题的方程. 为此我们利用同伦摄动方法来求解Black-Scholes方程的近似解析解.
三. 同伦摄动方法求解Black-Scholes方程
3. 1 同伦摄动方法的基本原理
同伦摄动方法是由何吉欢在1999年提出的, 该方法已被用于很多学者来处理各种各样的科学和工程应用, 以解决各种功能性方程. 该方法被认为是一个无穷级数的总和, 通过迅速地收敛到准确的解决方案.
为了阐明同伦摄动方法的基本思想, 我们考虑如下的非线性方程
边界条件为 (3.1.1)
其中 是一个一般的微分运算, 是有边界的运算符, 是已知的解析函数, 是域 的边界.
的运算被分为两个部分, 线性的 和非线性的运算 . 因此, 式(1)即可重写如下： (3.1.2)
利用同伦分析法, 我们构造了一个同伦 满足： (3.1.3)或者等价于,