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摘要：在数学分析中，微分中值定理是一个很重要的基本定理，是研究函数的重要工具，且应用广泛。(1)本文首先对微分中值定理进行归类，介绍各种微分中值定理证明的简单思路与需要注意的问题．（2）通过不同类的中值定理的证明，阐述微分中值定理的应用．（3）归纳总结微分中值定理的应用，然后进行推广.38152
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毕业论文关键词：微分中值 ;函数;联系;推广;应用
The proof of differential mean value theorem and extension
Abstract: In mathematical analysis，Differential mean value theorem is a very important fundamental theorem, Is an important tool to study the function, and widely applied. At first, this paper classifies the differential mean value theorem，Introduce all sorts of differential mean value theorem is proved simple ideas and problems needing attention. SecondThrough different kinds of mean value theorem proof, expounds the application of differential mean value theorem.Third, Sum up the application of differential mean value theorem, and then to promote.
Key words: Differential median function contact To promote application
引言
数学分析中，微分学占很重要的地位，而微分中值定理又是微分学中的基本定理，所以学好微分中值定理的证明是至关重要的，对于我们学好数学分析也是很关键的，通过对微分中值定理的研究发现，可以用微分中值定理去解决函数的导数的问题，并且求出导数方程的解和解的区间，还可以利用微分中值定理去求近似值。
微分中值定理是一系列中值定理的总称，但本文只研究罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理之间的关系，以及对它们的推广。然后再利用他们来讨论一些方程根的存在性问题，对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。
研究的目的和意义
目的：了解微分中值定理的证明及其推广
意义：微分中值定理的证明是平常的数学学习中的重要内容之一，包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。中值定理作为微分中值定理应用的基础，运用导数判断函数上升，下降，取极值，凹形，凸形和拐点等项的重要性态，从而能把握住函数图像的各种几何特性，同时在极值的问题上也有重要的实际应用.
目 录
摘 要 1
引言 2
研究的目的和意义 2
预备知识 3
微分中值定理的分类 4
微分中值定理的证明 5
罗尔中值定理 5
拉格朗日中值定理 5
柯西中值定理 9
微分中值定理的应用 5
函数与其导数之间的关系 5
利用微分中值定理求极限 5
讨论方程的实根问题 9
利用微分中值定理证明不等式 9
微分中值定理的推广 9
结束语 15
参考文献 16
致谢 17
微分中值定理的证明及推广
1.预备知识：
1.1.设函数 在点x 的某邻域内有定义，若极限 存在，则称函数 在 处可导，并称该极限为函数 在点 处的导数，记作 。
1.2.设函数 在某 上有定义，若 ，则称 在点 连续。
1.3．设函数 在点 的某邻域上有定义，且在点 可导，若点 为 的极值点，则必有 。
2.微分中值定理的分类：
本文对三个中值定理进行研究：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。
2.1.罗尔定理
若函数 满足如下条件：（1） 在闭区间 上联系 （2） 在开区间 上可导 （3） 则在 上至少存在一点 ，使得 。