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摘 要：理想是一类重要的子环,它在环的理论中起着重要的作用.本文对理想进行讨论，主要从以下几个方面进行研究，先从理想的基本理论出发，对理想进行初步分析在此基础上，对理想的性质进行归纳总结，并介绍了主理想的交﹑和﹑积.着重介绍了在此基础上导出的新的性质，最后简单介绍了素理想﹑极大理想的性质以及理想的简单应用.38153
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毕业论文关键词：理想；主理想；环；极大理想
Properties and application of the ideal
Abstract：Ideal (ring) is a kind of important sub ring, it plays an important role in the theory of rings.Among many concepts and theorems can be applied to the ring. We have discussed the ideals of a ring, a group of normal subgroup status. Normal subgroup is a very important concept, inthe same group, ideal also occupy a very important position in the discussion. The ringmaximal ideal, maximal ideal is an important part of the special ideal. The ideal is a kind of special sub ring ring called ideal.
Key Words：The ideal；Principal ideal；Ring；Maximal ideal
目 录
摘 要1
引 言2
1．预备知识3
2．理想的性质6
3．素理想和极大理想的简单性质10
4. 理想的简单应用12
参考文献 13
致 谢15
理想的性质与应用
引言
理想是抽象代数中较晚出现的.尽管环和理想的理论在19世纪就可以找到，但抽象理论却完全是20世纪之后出现的。环和理想的比较系统的理论由诺特给出。她开始提出时，环和理想的许多结果都已经有了，但当她将这些结果给予恰当的明确表述时，得到了抽象理论.理想理论的出现得到了人们极大地关注和深入的研究，素理想﹑极大理想出现丰富了理想的理论，广义理想﹑n李代数次理想﹑零文理想在研究理想中也扮演者重要的角色.
很多文献对理想的性质与应用都进行了研究.文献 、 和文献 中介绍了理想一般的性质及应用，并对理想、极大理想、零乘环等进行了讨论.文献 ， 给出了极大理想、最大理想等，并且简单的介绍了一些其他的性质、应用.
本文在上述文献的基础上，结合对相关理论的理解，概括理想的性质与应用.理想在环的理论中起着举足轻重的作用.本文对理想进行讨论，主要从以下几个方面进行探究，先从理想的基本理论出发，对理想进行初步分析,在此基础上，对理想的性质进行归纳总结，并介绍了主理想的交﹑和﹑积。着重介绍了在此基础上导出的新的性质，最后简单介绍了素理想﹑极大理想的性质以及理想的简单应用。
1．预备知识
定义 设非空集合 代数运算有两个，一个是加法（一般用＋表示），另一个是乘法.如果
(1) 对加法做一个加群；
(2) 对乘法满足结合律:
(3) 乘法对加法满足左右分配律:
其中 为 中任意元素，则称 对这两个代数运算做成一个环.
定义 设 是加群，再对 任意元素 规定
则 显然做成一个环.这种环称为零乘环.
定义 设 是环 的一个非空子集.如果 对 的加法与乘法也做成一个环，则称 是 的一个子环，记为
定义 设 是一个环.如果 又有单位元且每个非零元都有逆元，则称 是一个除环（或体）.可换除环称为域.
定义 一个环 关于其加法做成一个加群，用 表示，并称其为环 的加群.如果加群 是一个循环群，则称环 是一个循环环.
定义 设 是环 的子环.一个环 关于其加法做成一个加群，用 表示，称其为环 的子加群.