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摘 要:凹函数是一类重要函数,利用它的性质,可以能够更好地、更加简洁地解决函数中一些较为复杂的问题.而本文正是基于这一点出发,先介绍凹函数、弱对数凹函数的定义及其性质,然后利用这些性质来探索函数的基本特征,例如它的最值、单调性、凹凸性、连续性等等,同时给出具体的例题加以说明.38154
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毕业论文关键词:凹函数;弱对数凹函数;性质;应用
The Property of The Concave Function and Application
Abstract:Concave function is a kind of important function. Because we can solve some complicated questions better and concisely by using its property.The paper focuses on concave function’s property. It will introduce the definition and properties of concave function and weakly logarithmically concave function.Then we can take advantage of their properties to explore function’s basic features,such as its maximum or minimum number, monotonic, concave-convex, continuity unequal etc.The paper will present some specific examples to validate the application of these properties at the same time.
Keywords:Concave function; Weakly logarithmically concave function;Pro
perty;Application
目 录
摘 要 1
引言 2
1.凹函数的定义 3
1.1凹函数 3
1.2弱对数凹函数 3
2.凹函数的性质 3
3.凹函数应用 5
3.1求函数的最大值 5
3.2判断函数的单调性 6
3.3判别积分的凸凹性 6
3.4证明积分不等式 7
3.5证明函数的连续性 8
3.6验证一些不等式 8
3.7 Young不等式的另一种证明 10
3.8 在二阶Hessian矩阵中的应用 11
4.结束语 11
参考文献 12
致谢 13
凹函数的性质及应用
引言
凹函数是一类重要函数,在数学分析、高等代数等学科中都有涉及.利用凹函数的性质,可以解决函数的一些重要问题,例如求出它的最值以及证明一些重要不等式等等.由于凸函数与凹函数相对应,使得人们研究凸函数的文章较多,对凹函数的研究往往选择忽略.但随着研究的深入,凹函数又有不同于凸函数的性质，而它自身独有的性质,在解决数学相关问题时,更加简洁,更加形象.因此,研究凹函数的性质及应用极为重要.
本文所参考的文献中,文献[1]介绍了凹函数的定义,文献[6][7][9]主要介绍了凹函数的性质,文献[2][10]介绍了弱对数凹函数的定义及性质并给出了Young不等式的另一种解法,而凹函数在求最值及不等式的应用是由文献[4][5][8][12]介绍的,文献[3]介绍了凹函数在积分函数的性质及其应用,文献[11][13]介绍了凹函数与连续函数的关系等等,并讨论了其在一些例子中的应用.
在结合前人的文献的基础上,本人首先对凹函数、弱对数凹函数的定义及性质进行了总结与归纳, 然后利用这些性质的不同之处来探索函数的基本特征,比如它的最值、单调性、凹凸性、连续性等等,并且通过典型的例题进行说明,使得凹函数的不同性质在数学中的应用更加具体化、形象化.
1.凹函数的定义
1.1凹函数
定义1 设 定义在区间 上,对于 , 及 ,都有 .
1.2弱对数凹函数
定义2 设 为区间 上的连续正值函数,对于 , 及 ,都有 .
2.凹函数的性质
性质1[4] 设 , 为定义在区间 上的凸函数,则 为区间 上的凹函数.