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    定义   设 是环 的一个子加群,即对 中任意元素 ,差 仍属于 .如果又有
     
    则称 是环 的一个左理想;并称 满足左吸收律.
    如果
     
    则称 是环 的一个右理想;此时称 满足右吸收律.
        如果 不仅是环 的左理想而且又是右理想,则称 是环 的一个两边理想,简称理想,并用符号 表示;否则记为 .
    定义   对任意的环 ,如果 则至少有两个理想:一个是零理想 ;另一个是 本身(称为环 的单位理想).这两个理想统称为环 的平凡理想.
    定义   如果一个环内无平凡理想,则称这个环为单环.
    定义  设 是一个环,任取 ,则 中包含元素的理想总是存在的,因为本身就是一个.易知, 中包含 的全部理想的交也是 的一个理想,且是 的包含元素 的最小理想.这个理想记为
     ,
    并称其为 的由 生成的主理想.
    定义  设 是一个交换环,又 .如果
     ,
    其中 ,则称 是 的一个素理想.
    定义  设 是环 的一个理想,且 .如果除 和 外, 中没有包含 的其他理想,则称 为环 的一个极大理想.
    定义  设 是环 的两个理想,则 称为 与 的和,记为 .
    定义  设环 的两个理想是 ,就称
     
    为 与 的积,记为 .
    定理  若 是环 的 个(子环)理想,则
     
    也是环 的一个(子环)理想.
    证  对 用数学归纳法.
    当 时定理显然成立.
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