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摘 要：有限差分法简称FDM，是解决常微分方程时常用的方法，并且至今仍被大量使用.有限差分法具有简单，灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现.在很多情况下，求解问题的解析解比较困难，或者行不通.为了解决这一问题，常微分方程的数值解起了很大的作用，它运用数值逼近思想，在一定误差范围内求解常微分方程的近似解.本文讨论了有限差分法在数学和实际生活中的应用.38943
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毕业论文关键词：有限差分法；近似数值；微分方程数值解
Finite difference method
Abstract: Finite difference method referred to as FDM, is often used to solve differential equation method, and is still a lot of use. The finite difference method is simple, flexible, and characteristics of strong commonality, easy to implement on computer. In many cases, the analytical solutions to solve the problems are difficult, or it won't work. In order to solve this problem, numerical solution of ordinary differential equation plays a big role, it USES the numerical approximation of ideas, within a certain error range to solve the approximate solution of ordinary differential equations. This paper discusses the application of finite difference method in mathematics and real life.
Key Words: Finite Difference Method; The Approximate Numerical ;The Differential Equation of Numerical Solution
目 录
摘要 1
引言 2
1 基础知识 3
1．1 有限差分法 3
1．2 有限差分法的方法 4
2 有限差分法的内容 5
3 有限差分法的性质 6
4 有限差分法在常微分方程中的应用 6
4．1 一阶常微分方程 6
4．2 二阶常微分方程 9
5 结束语 12
参考文献 13
致谢 14
有限差分法探讨
引言
有限差分方法是一种求常微分方程和方程组问题的数值解的方法,是一种直接将常微分问题变成代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单,灵活以及通用性强，并且容易在计算机上实现.
在很多著名的文献资料中都有关于有限差分法的讨论.文献[1]-[6]分析了一阶常微分方程与有限差分法之间的联系；文献[7]-[11]介绍了用有限差分法解二阶或者高阶的常微分方程，体现了有限差分法在多阶微分方程中的优越性.最后的文献[12]介绍了MATLAB在有限差分法中的运用，可以用于解答很多难求的数值问题.在此感谢以上提到的参考文献，为我撰写本篇论文提供了丰富的资料和很大的帮助.
在本篇论文中，通过介绍有限差分法的概念，思想等方面大体理解有限差分法，再用例题更深刻的了解有限差分法的用处，尤其是在高阶的常微分方程中，更能体现出有限差分法的巨大用途.在此，比较了一阶和二阶常微分方程问题下，分别用有限差分法和解析法解答.
1.基础知识
1.1 有限差分法
1.1.1 有限差分法的概念
设关于 的解析函数 ，函数 对 的导数为
(1)
、 分别是函数及自变量的微分， 是函数对自变量的导数.上式中的 、 分别称为函数及其自变量的差分， 为函数对自变量的差商.
1.1.2 差分公式（一阶）
对一个单变量函数 ，以步长 将 等距离划分，我们可以得到一系列的节点即
，然后求出 在这些节点上的近似 值.与节点 相邻的节点有 和 ，因此在点 处可以构造如下形式的展开式