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摘 要：本文主要介绍幂级数的敛散性，收敛半径及和的解析性.其次就是幂级数的泰勒展式其中包括：用幂级数的除法求函数的展开式，及用一种特殊的方法表述幂级数的和函数在收敛圆周上的状况.最后介绍幂级数在复变函数中的应用.包括在幂级数在三角函数求和中的应用.38994
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毕业论文关键词：复变函数论；幂级数；敛散性；收敛半径；泰勒展式
Research on Complex Power Series Problems in Function Theory
Abstract: This paper mainly introduces the power series convergence, convergence radius and analysis. The second is the Taylor expansion series includes expansions for the function pision of the power series, and a special method of expression and function in power series convergence on the circumference. Finally introduce the power series in the application of the function of complex variable. Including the application in power series in the summation of trigonometric functions.
Keywords：The theory of complex functions; Power series; Convergence; Radius of convergence; Taylor expansion
目 录
摘 要 1
引言 2
1幂级数 3
1.1幂级数的定义及性质： 3
1.2幂级数的敛散性 3
1.3幂级数的收敛半径： 5
1.4幂级数和的解析性 8
2幂级数的泰勒展式 9
2.1泰勒展式 9
2.2用幂级数的除法求函数的展开式 10
2.3幂级数的和函数在收敛圆周上的状况（新方法） 12
3幂级数在复变函数论中的应用 13
3.1幂级数在三角函数求和中的应运 13
3.2求 及 的和 15
小结 16
参考文献： 17
致谢 18
复变函数论中的幂级数问题研究引言
级数的发展有一个相当长的历史，从二分法到十八世纪级数的理论的确立，其间经历了几个世纪的时间.而级数作为一个分析的一个重要工具，不仅促使了数学理论的发展和进步，而且使得数学产生更多的分支，从而促使了人类的发展.
同时幂级数是一类比较简单的函数向级数，从其他的意义上来说他也可以看做是多项式函数的一种延伸，幂级数无论在理论上还是在实际的生活中都有很多应用和延伸.
复变函数论中,幂级数更加严密精确，本文将简单介绍幂级数的定义及一些简单的性质.同样函数的幂级数展开有着非常重要的作用和意义,复变函数论中的幂级数展开有很多比较好的方法, 如幂级数除法,待定系数法, 逐项求导法等.本文将主要介绍幂级数除法求函数展开式.本文还将对幂级数的在复变函数论中的应用做一些简单的推广，主要介绍幂级数在三角函数求和中的应用.
1幂级数
1.1幂级数的定义及性质：
幂级数是比较容易的函数项级数，具有：
这种形式的函数项级数叫做幂级数, 其中c0 , c1 , c2 , ⋯及a 都是复常数.假如做一种变换 ，则上述的幂级数也能够写成下列形式:（将 改为Z）.
，
幂级数是比较容易的解析函数项级数.研究复变函数中的幂级数的相关问题主要研究一下问题：
(1)幂级数的敛散性；
(2)幂级数收敛半径的求法；
(3)幂级数和的解析性，下面对其相关问题逐个分析研究.
1.2幂级数的敛散性