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深入对微积分的研究能够帮助我们更好的研究数学，帮助我们更好的认识世界.而我们在本文中主要讲述的是函数可微、可导及连续性之间的相互联系，理清他们之间的关系能够帮助我们在以后的数学学习中能够更好的理解和扩展，学习微积分的思想也能帮助我们在以后的工作生活中更好的解决问题.研究函数可微、可导及连续性之间的相互联系，对于我们对它们的概念理解也有很好的帮助，能够更利于我们把握它们的实质，同时更容易学习和认识微积分.
我们研究的多元函数微分学是我们高等数学中的重中之重，我们主要的研究对象就是多元函数体现的微积分内容，我们学生在学习过程中对可导及连续性之间的关系容易把这些概念混淆，很多学生只能模糊的认识这些概念，很难真正把握这些知识点.现如今，外国学者们在多元函数的连续性、偏导性及可微性之间关系的研究方面取得了不错的进展，它们之间的关系也得到了很好的说明和认识，但是我们国内的学习资料只对它们的定义概念作了说明，对它们的关系少有提及，对它们的关系没有一个明确的说明，而我国学者在一些学术性论文中只是对它们的个别关系做了说明，因此我们需要一个对它们关系充分认识的研究来帮助学生全面掌握它们的关系.
1.一元函数的性质(可微性、可导性、连续性)
1.1性质之间的关系
首先我们需要对一元函数的性质有一个了解，找到他们之间的关系，我们来看下图
在接下来的介绍中我们会给出他们的证明和一些不适用的例子.
定理1 函数f在点 可导的充要条件是它在点 也可微
证明: 充分性 由在点 处函数f可微，易得
即
即取极限后有
很容易的我们证明了函数f在点 处函数f可导且导数值为A.
必要性 由在点 处函数f可导，易得函数f在 点的有限增量公式是
意着 的线性部分 与相对 高阶的无穷小量之和就是函数增量 ，所以函数f在 点可微.
定理2 函数f在点 处可导是f在点 连续的充分条件
证明： 当在点 处时函数f可导，易得
即
(其中函数 在点 某的邻域内有定义 )
所以 则 在点 连续.
函数连续,不一定可导.
例如 函数 在点 处连续,但不可导.
证明: 故 在 处连续,但
f在 点出不可导
当 时不存在极限,于是f在 点处不可导
1.2.函数的可导性与连续性
我们在对函数的连续性与可导性进行研究时难免会研究一元函数的性质，然而我们也很容易因为对初等函数的性质的研究进入一个误区，常见的一元函数我们很容易就能得到他的连续性和可导性，但是某些我们不常见的初等函数在连续性和可导性会展现出一些特殊的性质，下面我们给出一些反例.
1.2.1狄利克雷(Dirichlet)函数
我们很容易发现狄利克雷函数每一点都有定义，因为无理数和有理数都有稠密性易得这个函数在整个实数范围内处处不连续.