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利用插值多项式求解函数问题的综述摘 要：本论文在简要介绍了有关插值法的一些基本概念的基础上，详细介绍了Lagrange插值公式、 Newton插值公式、Hermite插值公式、分段插值公式以及三次样条插值公式及其误差．探讨了各种插值公式的应用，并进行了比较。6349
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关键词：插值法 Lagrange插值 Newton插值 Hermite插值 分段插值 三次样条插值 误差
目录
中文摘要•3
Abstract•3
正 文•4
一、引言•4
二、Lagrange插值•5
三、Newton插值•7
四、Hermite插值9
五、分段插值•10
751、三次样条插值•11
七、应用………………………………………………14
（一）数值例子14
（二）实际问题中的应用22
参考文献•23
致谢•24
Abstract: This paper briefly introduces some basic concepts about interpolation method on the, details of the Lagrange interpolation, Newton interpolation formula, the Hermite interpolation formula, the piecewise interpolation formula and three spline interpolation formula and its error. Discussion on the application of various interpolation formula, and compared.
Keywords: Interpolation Lagrange Interpolation Newton Interpolation Piecewise interpolation Three times spline interpolation
一、引言
在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，但是这些关系的显示表达式不一定都知道，通常只是由观察或测试得到一些离散数值，所以只能从这些数据构造函数的近似表达式，有时虽然给出了解析表达式，但由于解析表达式过于复杂，计算起来十分麻烦.这就需要建立函数的某种近似表达，而插值法就是构造函数的近似表达式的一种方法.
插值法起源于十八世纪，过去的两个世纪中无数的数学家对插值法进行了大量的研究和探索。对于插值函数 ，我们通常可以选择多种不同的函数类型，由于代数多项式是最简单而又便于计算的函数，所以经常采用多项式作为插值函数，称为多项式插值.多项式插值法有拉格朗日插值法，牛顿插值法，埃尔米特插值法，分段插值法和样条插值法等.其基本思想都是用高次代数多项式或分段的低次多项式作为被插值函数的近似解析表达式.
多项式插值有着形式简单，求导、求积分比较方便的特点，这些插值有着广泛的应用，但其还是一个所求函数的值的近似函数，必然存在误差。如何减小误差，这正是科学研究和实践中所要面临的问题。为此，我们对这些插值进行对比研究。
二、Lagrange插值
首先我们来看这样一个问题：给定两个插值点 其中 怎样做通过这两点的一次插值函数？
过两点作一条直线，这条直线就是通过这两点的一次多项式插值函数，简称线性插值。
下面先用待定系数法构造插值直线.
设直线方程为 将 分别代入直线方程 ，得
, 当 时,因
所以方程组有解，且解唯一.这也表明，平面上两个点有且仅有一条直线通过，用待定系数法构造插值多项式的方法简单直观，容易看到解的存在性和唯一性，但要解一个方程组才能得到插值函数的系数，因工作量大且不便向高阶推广，故这种构造方法不宜采用.
当 时，若用两点式表示这条直线，则有：
这种形式称为 插值多项式.
记 称为插值基函数，计算 的值,可知
在 插值多项式中，可将 看作两条直线 与 的叠加，并可看到两个插值点的作用和地位是平等的.