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给定区间 上 个节点 和这些点上的函数值 ，若函数 满足：
（1） 在每个子区间 上是不高于三次的多项式
（2） 在 上连续
（3） 满足插值条件 ，则称 为函数 关于节点 的三次样条插值函数.
要在每个子区间 上构造三次多项式
共需要 个条件，由插值条件 提供了 个条件,用每个内点的关系建立条件 又得到了 个条件，再附加两个边界条件，即可唯一确定样条函数了.
设 ，由于 在 上为线性函数，故在 上做 的分段线性插值函数：
，得到对 积分两次有将 代入 可解出
在每个小区间上具有不同的表达式，但由于 在整个区间 上是二阶光滑的，故有