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如果我们给定三个插值点 ，其中 互不相等，那么该怎样构造函数 的二次（抛物线）插值多项式呢？
仿照线性 插值，我们可设
为二次函数
对 来说，要求 是它的零点，因此可设 同理 也有相应形式.
将 分别代入，可得 有
一般地，当给定n+1个互不相同的插值节点 时，就可得出函数的n次插值多项式:
其误差 .
下面我们以定理的形式来给出 插值多项式的误差估计.
定理1:设 在区间 上有直到n+1阶导数， 是 上n+1个互异节点， 为满足 的n次插值多项式，则对 ，有 ，其中 ，且依赖于
三、Newton插值
插值多项式的优点是格式整齐和规范，它的缺点是计算量大且没有承袭性，当需要增加插值节点时，不得不重新计算所有插值基函数，所以我们引进具有承袭性的 插值多项式.
先来介绍一下差商的概念
一阶差商：函数值的差 与自变量的差 之比值，记为
称 关于点 的一阶差商。
称 为 关于点 的二阶差商.
一般地，k阶差商为： 我们知道差商的值只与节点有关而于节点的顺序无关，所以有：
如果给定 ，其中 互不相同，那么如何来构造n次 插值多项式？
由一阶差商定义 得
类似地，由二阶差商至n阶差商的定义可得到下列方程组
解这个方程即得
为不高于n次的多项式，可验证 ，称 是过n+1个插值点的
n阶 插值多项式。
为插值多项式的误差.
由插值多项式的唯一性知，拉格朗日插值多项式 与 插值多项式 完全相同，只是表达形式不同，因此得到它们的误差也应完全相等，故当 时，有
四、Hermite插值
前面介绍的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式，只要求在插值节点上插值多项式的值等于函数值，而在一些实际中还要求在某些插值节点上，插值多项式的若干导数值等于函数的相应阶导数值.这样的插值多项式称为埃尔米特插值多项式或带导数的插值多项式，记为 .
例如,设 ，已知互异点 ， ，…， 及所对应的函数值为 ， ，…， ，导数值为 ， ，…， ，则满足条件
的 次Hermite插值多项式为其中
称为Hermite插值基函数， 是Lagrange插值基函数，若 ，插值误差为
五、分段插值
在构造插值多项式时，适当提高插值多项式的次数，有可能提高计算结果的准确程度，但不能因此认为插值多项式的次数越高越好，例如我们所熟悉的龙格现象就说明了这一点.
既然增加插值节点并不能提高插值函数的逼近效果，那么采用分段插值的效果又如何呢？
例如，当给定了n+1个点 上的函数值 后，若要计算点 处函数值 的近似值，可先选取两个节点 与 ，使 ，然后在小区间 上作线性插值，即得
这种分段低次插值叫分段线性插值.
类似地，为求 的近似值，也可选取距点 最近的三个节点 进行二次插值，即取
这种分段低次插值叫分段二次插值，为了保证 是距点 较近的三个节点， 可通过下面方法确定:
751、三次样条插值
分段低次插值虽然具有计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在计算机上实现等优点，但它只能保证各小段曲线在连接点上的连续性，却不能保持整条曲线的光滑性，对一些实际问题，不但要求一阶导数连续，而且要求二阶导数连续.为了克服上述缺点，我们考虑使用逐段表示成低次多项式的光滑函数 作为 的插值函数，这将是我们要介绍的样条插值函数.