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新课标中对于圆锥曲线这部分知识提出了新的要求,但是很多老师都没有特别关注新旧课标中对于圆锥曲线的不同要求,仍然使用比较传统的教学方法.传统教法缺少让学生自我探究的过程,不能让学生亲自探索知识的发生发展过程,理解概念的本质,无法让学生主动地参与数学学习,提升自身的数学素养,所以改变教师的教学方法迫在眉睫.
以双曲线为例,关于双曲线的第一定义我们引入其发生过程来进行教学.
2 发生教学法
1972年在第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教学关系国际研究小组(Intern-
ational Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics,简称HPM).数学史融入数学教学的研究是HPM(数学史与数学教育关系)领域的重要内容之一[3].数学教学中数学史的运用方式一般有3种,其中第二种方式是借鉴数学史进行数学教学[4],也就是发生教学法.通常所说的HPM视角下的数学教学采用的就是这种方法[5].
发生教学法的主要理论依据是历史发生原理,本质是追溯一种思想的历史起源,以寻找培养学习兴趣的有效方法[5].发生教学法通过借鉴历史,将知识的发生发展过程再次展现出来,其基础是数学史.通过选择相关的历史背景,使用现代的符号和术语来呈现历史．在历史呈现的过程中,学生可以发现在知识的整个发展过程中起到关键作用的几个步骤,从历史中获取概念发展的关键方式.通过自己的探索体会概念的形成过程,深刻理解和掌握概念的本质.数学史融入课堂为学生提供了有利的学习材料,激发了学生的学习动机,让学生体会到了学习的乐趣.
2.1双曲线概念的历史及其重构
从历史上看,希腊人梅内赫莫斯在研究立方倍积问题时发现了圆锥曲线,并为双曲线下了定义,给定一个直角三角形,以一直角边为轴旋转得到一个顶角为钝角的圆锥,用垂直于母线的平面截圆锥后得到的截线就是双曲线[6].但是梅内赫莫斯对于双曲线的定义将双曲线限定在了钝角圆锥内,不具有一般性.
19世纪初,旦德林通过研究对顶圆锥里的两个内切球,直接在圆上作出了双曲线截面的焦点,再利用球的切线长定理推导出双曲线的焦半径性质,从而在截线定义和第一定义之间建立起了联系[6].
通过对双曲线历史的研究与考察,我们知道双曲线的探究历程主要包括双曲线的发现、截线定义的形成、基本概念的推导、焦半径性质的获得、轨迹定义的确立、机械作图的产生、17世纪新定义的确立(第一定义)以及双曲线方程的推导等,而人教版选修2-1中只是用拉链的例子直接给出双曲线的第一定义,接着推导出双曲线的标准方程.没有将双曲线的概念建立在学生已有的知识基础上,学生接受起来比较困难.下面我们利用旦德林球模型直接完成从双曲线的发现到双曲线焦半径性质的过度.