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作为早期的傅里叶变换之一，必须提到的是拉普拉斯变换。早在18世纪末、19世纪初的法国，在傅里叶级数提出40年前，拉普拉斯就提出了拉普拉斯变换。这样，傅里叶级数、傅里叶积分和拉普拉斯变换形成了早期傅里叶变换家族的三种变换。
傅里叶变换理论的方法的介绍在不同的书籍中有着不尽相同的表达形式。我们大学期间所学过的《数学分析》、《复变函数》等课程中都是从数学角度，在介绍了级数的基础上讨论了傅里叶级数、拉普拉斯变换等，《小波和傅里叶分析基础》课程中则介绍连续时间信号的傅里叶变换和小波变换，《数字信号处理》等相关书籍则是着重介绍了离散时间信号的傅里叶变换。但是，不管是以什么样的形式来介绍和阐明，傅里叶变换的本质都一样的：傅里叶变换是一种特殊的积分变换，它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。
随着电磁理论和技术的产生与发展，尤其是电子通信与电信号理论和技术的产生与发展，傅里叶变换在电磁理论和技术、电信号理论和技术等领域得到了广泛的应用。
近十多年来数字信号处理技术同数字计算机、大规模集成电路等先进技术一样，有了突飞猛进的发展，日新月异，已经形成了一门具有强大生命力的技术科学。由于它本身具有一系列的优点，所以能有效地促进各工程技术领域的技术改造和学科发展，应用领域也更加广泛、深入，越来越受到人们的重视。
傅里叶变换已有一百多年的历史了，我们知道频域分析常常比时域分析更优越，不仅简单，且易于分析复杂信号。在模拟信号传输和模拟信号处理时代，傅里叶变换只是一种用于分析连续时间信号和系统的数学工具。为了实际获得各种复杂信号中特定的分量，工程师们应用由电阻、电容、电感等模拟元器件为基础构成的模拟滤波器。通过不同频率的窄带滤波，人们得到由傅里叶变换所预计的信号中频率分量的幅度和相位。
这种用模拟滤波器给出傅里叶变换数值的方法不仅麻烦，而且所得数值非常不精确，这是因为窄频带信号是由多个频率分量组成的。随着模拟信号变成数字信号，随着大规模集成电路和超大规模集成电路的发展以及计算机技术的进步，产生和发展了有计算机和各种数字硬件处理信号的理论和方法。在这些方法发展的过程中，傅里叶变换家族出现了许多新成员：离散周期信号的离散傅里叶级数变换、离散时间信号的序列傅里叶变换、离散时间信号的z变换等等。
在本文的撰写过程中，作者基于大学期间对傅里叶变换的学习和理解，以及后期对信号处理方面书籍、论文的查阅和研读，从信号处理的角度着眼，从信号函数出发，全面而完整地论述了傅里叶变换，包括其发展历史、基本概念、基本性质、物理意义、在物理工程中的应用以及其应用中的局限性等方面。数字信号处理的理论基础是离散线性时不变系统理论和离散傅里叶变换。本文联系傅里叶变换的基本原理和数字信号处理的相关知识，做了较为详尽的讨论。数字滤波是数字信号处理的经典内容之一，本文对其做了相关介绍。最后，还简要分析了傅里叶变换在实际应用中实际存在的局限性，并提到了现在已经得到发展和应用的快速傅里叶变换、小波变换等方法。
本文多角度、多方面地介绍了傅里叶变换，没有大量的应用领域的专业技术术语，以便大家对其有更基本、更直观的了解和掌握，这是本文的出发点，也是本文的最终目的。
2 傅里叶变换的发展历史
早在17世纪和18世纪，在牛顿（Newton）和莱布尼茨（Laibniz）等科学巨人的推动下，数学获得了飞速发展。与此同时，函数、极限、微积分和级数理论也开始被创立，并迅速地蓬勃发展。