3.5注意均值不等式的运用...(11)
4函数最值在实际问题中的应用.(11)
5总结....(16)
1引言
函数是数学中的一个重要概念,由数学史可知,提出一个新的有意义的重要概念,对数学的发展是作用巨大的。最早提出“函数”这个术语的是德国数学家莱布尼茨,在17世纪末使用了“function”这个词,但是当时的意义跟现在并不一样。18世纪,法国数学家达朗贝尔提出了函数是由变量和常量组成的解析表达式,但是欧拉认为随便画一条曲线就表示 与 的关系,直到19世纪末,出现了康托尔的集合论后,函数的定义才达到完善。康托尔指出:函数是集合间的对应关系。存在 两个非空集合,集合 中的元素经过某种运算法则在集合 中有唯一确定的元素与之对应。
函数是初中及高中数学教学内容中非常重要的一个部分,在整个中学阶段都与函数有着密切的联系。而函数中非常重要的一环就是求函数的最值问题,在处理过程中,由定义域到值域的转化,方法就是由已知的条件根据数量关系向未知的结果转化,讲一些简单的条件联系起来,来得出一些较为复杂的结论。虽然题目或者题型可能会有些变化,但是处理的过程跟思考的方法都是跟学过的题目差不多的,我们要做到的,就是读懂新的题目,然后开始联想,试着找到类似的已经学过的题目,找出他们的共同点,然后用学过的思路来解题就可以了。
函数最值问题跟实际生活密切相关,在公司生产、科技研究上都离不开求函数最值得问题,是一类特殊的数学问题,在近几年来数学考试或者数学竞赛中都是重点考察的知识点之一。故解决这类问题,要联系各种所学的知识,进行比较,分析相同点与不同点,做到对题型的彻底理解,不至于面对新题型不知所措。
函数最值的定义:一般的,函数最值分为函数最小值与函数最大值。简单来说,最小值即定义域中函数值的最小值,最大值即定义域中函数值的最大值。函数最大(小)值的几何意义——函数图像的最高(低)点的纵坐标即为该函数的最大(小)值。
最小值:设函数 的定义域为 ,如果存在实数M满足:①对于任意实数 ,都有 ,②存在 。使得 ,那么,我们称实数M 是函数 的最小值。
最大值:设函数 的定义域为 ,如果存在实数M满足:①对于任意实数 ,都有 ,②存在 。使得 ,那么,我们称实数M 是函数 的最大值。
特殊情况:如果函数 在定义域 上单调增加(减少),则在区间 上 的最小值(最大值)为 ,最大值(最小值)为 。
2求函数最值的几种解法探讨
2.1判别式法
判别式法主要用于二次函数中,或者所求的函数可以通过等价变换转化为二次函数,使得所求的最值变成二次函数中的系数,然后根据二次函数的定义域为 ,得出 的不等式,从而解出函数的最值。用这个方法就是要将所求的量看成已知的量,然后根据已有的定义域再重新来求需要求的量,变化较多,内容也比较拗口,学生们应该深刻去理解其中的意义,才不会混淆。
例1.求函数 的最值
分析:原函数不能通过直接的运算来求出最值,我们不妨引入一个新变量 ,令 ,然后我们可以将等式右边的分母部分乘到左边过去,使得等式两边都是整式,最后进行合并同类项,出现以 作为自变量的二次函数的形式,根据 的取值范围是 ,得出 ,求出 的取值范围,就是所求函数 的范围。
解:设 经过整理得 由 得
由对于某种特殊函数,我们可以经过适当的转换,使得其值域 变成自变量 的系数,然后利用 来解出 的范围。