2.2配方法
配方法是二次函数中比较基本的一种求函数最值得方法,适用于二次函数是以一般的形式给出的。配方法的主要步骤一:提取二次项的系数,二:找到一次项的系数,就是括号内一次项系数一半的平方,三:计算出常数项。注意点:提取公因式时,要是二次项的系数为负,注意一次项的系数要变号,且此时函数只有最大值。
例。求函数 的最值
分析:原函数 是二次函数的一般形式,可以通过配方法,先将二次项的系数提出来,然后加上一次项系数一半的平方,最后加上整理后的常数项,然后根据开口方向判断有最大值还是最小值解:
由于 ,且开口向上,所以函数 的最小值为
2.3均值不等式法
均值不等式,又名平均值不等式是数学中的一个重要公式,它的意义就是几何平均数不超过算术平均数,公式为: , 。运用均值不等式时要注意三个条件,就是一定,就是两个数的和或者积是定值,二正:两个数必须都是正数,负数的情况需要过转换,中间注意不等号的方向`751|文\论*文-网www.751com.cn。三等:注意等号取到的条件。
例1。求函数 的最值
分析:该函数比较复杂,无法直接看出成定值的两个数,所以我们需要对原函数进行化简。观察到分子分母最高次数相同,可以采用常数分离法,分离后分子将会出现 的一次项,将 除到分母内就会出现2个积为定值的数,就可以采用均值不等式求出最值了。
解:
由均值不等式得 解得
例2。已知 ,求 的取值范围,
分析:该函数由已知条件不能直接与所求内容联系起来,所以我们需要进行一定的转化,该题中1的转化非常关键,进行整理后可得两个积为常数的数,就可用均值不等式求出最值。解: 由 得
2.4换元法
换元法主要用于函数的各个部分之间存在联系时,这时我们可以引进新的变量,将不明显的东西变得明显起来论文网,同时也可以将复杂的情形变成我们所熟悉的常见题型。但是换元的时候要注意等价换元,就是新变量的定义域要与原来相同。通过换元法,我们可以把无理式转化为有理式,化整式为分式,还可以将高次化为低次。
例。求函数 的最值。
分析:原函数中带有根式,不能直接用基本方法来求出最值,这时候需要观察函数各部分之间的联系,显然的根号里面部分 与 是有联系的。那么我们不妨用一个新的变量来替换 ,再将外面的部分进行整理,即可解出函数最值。
解:令 , 原函数可化为 再由配方法求得
即 , 2.5三角参数法
参数观点是运动、变化思想在数学中的重要体现。参数是解析几何中最活跃的元素,也是解题的一种主要方法。解析几何中的许多解题技巧都来源于参数观点。
参数法是指在解题过程中,通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量(参数),以此作为媒介,再进行分析和综合,从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。
从目标问题对应的关系式的需要考虑,引入相关参数,列出目标关系式,根据题设条件和图形的几何性质,将目标关系式进行化简变形,从而求得结果。