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3) 如果 , 称为不带平方根的乔累斯基 分解;
4) 如果 , , 则 , 由于 , 则 , 称为带平方根的乔累斯基 分解.
定义1.1.3（克劳特分解） 设 为 阶方阵（不一定对称）, 有分解式 ,
即
当 时（下三角位置）, 有 , 得 , , ;
当 时（上三角位置）, 有 , , ;得 , , .
这样即可得到三角矩阵 和 .
定义1.1.4（乔累斯基 分解 ）设 为对称正定矩阵, 存在一个实的非奇异下三角矩阵 , 且 的对角元素为正时, 有惟一的分解式 .
即 ,
当 时, 有 , 也即 , . 特别地, 当 时, 有 , =1,2, , .
定义1.1.5（ 分解）设 .如果 可以分解成 ，其中 是对角元素为1的下三角矩阵（称为单位下三角矩阵）， 是上三角矩阵，则称之为 的 分解.
设 为 阶方阵, 如何确定 和 这两个三角矩阵呢, 设 , 其中
,
按矩阵的乘法, 有 , 由于 , 所以有 , . 故得 , .
同理 , 即得到三角矩阵 和 .
定理1.1 阶非奇异矩阵 可作三角分解的充要条件是 ,这里 为 的 阶顺序主子阵, 以下同.
证明 必要性. 设非奇异矩阵 有三角分解 , 将其写成分块形式
这里 , 和 分别为 , 和 的 阶顺序主子阵. 首先由 知 , , 从而 , ; 因此 .
充分性. 对阶数 作数学归纳法. 当 时, =（ ）=（1）（ ）,结论成立. 设对 结论成立, 即 , 其中 和 分别是下三角矩阵和上三角矩阵. 若 ,则由 = 易知 和 可逆. 现证当 时结论也成立, 事实上
.
由归纳法原理知 可作三角分解.
定理 1.1 给出了非奇异矩阵可作三角分解的充要条件, 由于 不满足定理1.1的条件, 所以它不能作三角分解. 但
.
上例表明对于奇异矩阵,它还能作三角分解未必要满足定理1.1的条件.
首先指出,一个方阵的三角分解不是唯一的,其实,方阵的三角分解有无穷多, 这是因为如果 是行列式不为零的任意对角矩阵, 有
,
其中 也分别是下、上三角矩阵, 从而 也使 的一个三角分解. 因 的任意性, 所以三角分解不唯一. 这就是 的分解式不唯一性问题, 需规范化三角分解.
定理1.2（ 基本定理）设 为 阶方阵,则 可以唯一地分解为
(1.1)
的充分必要条件是 的前 个顺序主子式 .
其中 , 分别是单位下、上三角矩阵, 是对角矩阵 ,
, .
证明 充分性. 若 , 则由定理1.1, 即实现一个杜利特分解 , 其中 为单位下三角矩阵, 为上三角矩阵,记
= = ,
因为 .下面分两种情况讨论：
1) 若 非奇异,由式(1)有 = = , 所以 , 这时
令 , 则 .
于是有
(1.2)
是 的一个 分解.
2)若 奇异,则 ,此时令 , , = ,
则 = ,
因此不论哪种情况, 只要 , 总存在一个 分解式 , .
再证这个分解是唯一的, 仍分两种情况讨论：
1) 当 非奇异时,有 , , , , 所以 、 、 均非奇异. 若还存在另一个 分解 , 这里 , , 也非奇异, 于是有
(1.3)
上式两端左乘以 以及右乘以 和 , 得