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(1.4)
但式(1.4)左端是单位下三角矩阵, 右端是单位上三角矩阵, 所以都应该是单位阵, 因此 , ,即 , .
由后一个等式类似地可得 , ,即有 , .
2) 若 奇异, 则式(1.3)可写成分块形式
,
其中 , 是 阶单位下三角阵; , 是 阶上三角阵; , 是 阶对角阵; , , , 是 文列向量. 由此得出
,
其中 , , 和 , , 均非奇异, 类似于前面的推理, 可得
, , , , .
必要性. 假定 有一个唯一的 分解, 写成分块的形式便是
, (1.5)
其中 , , , 分别是 , , , 的 阶顺序主子矩阵;
, , , 为 文列向量. 由式(1.5)有下面的矩阵方程:
否则, 若 , 则由式(1.6)有 .
于是有 , 即 奇异. 那么对于非其次线性方程组(1.8)有无穷多非零解, 不妨设有 , 使 , 而 = .
同理, 因 奇异, 也奇异, 故有 ,
使 ,或 .
取 , 则有 ,
这与 的 分解的唯一性矛盾, 因此 .
考察 阶顺序主子矩阵 由式(1.6)写成分块形式, 同样有 .由于 ,所以 ,可得 ,从而 . 依此类推可得 .
综上所述, 定理证明完毕.
1.2. 分解定理
定理1.2.1 阶矩阵 有唯一的 分解的充分且必要条件是 为非奇异矩阵，其中 是 的 阶顺序主子矩阵.
证明 （充分性）应用数学归纳法
设 为非奇异矩阵，显然有 .
设 可以分解为 ，其中 是单位下三角矩阵， 是非奇异上三角矩阵. 的 阶顺序主子矩阵 ，其中向量 与元素 已知.
令 则有 ；
即 .
记 ， ，则有 ，并且 是单位下三角矩阵， 是上三角矩阵，只要 ，由于 是非奇异矩阵，所以 也是非奇异矩阵.
由归纳法，当 时，有 .其中 是单位下三角矩阵， 是上三角矩阵.如果 是非奇异矩阵，则 也是非奇异矩阵；如果 是奇异矩阵，则 的主对角线上的元素 ， .
再设 有两种 分解 .
如果 是非奇异矩阵，由此式可得 .由于 是单位下三角矩阵， 是上三角矩阵，所以它们只能是单位矩阵，即 ，
所以 ， .
如果 是奇异矩阵，则将式 写成分块形式