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例题（1）：已知二次函数的图像经过 , , 三点，求这个一元二次函数的解析式，并画出根据描点法画出抛物线。
解 ： 设该一元二次函数的解析式为 ，由函数的图像经过 , , 三点，可得
由 得 ，
由 得 ，
由 得 ，把 代入 得 ， ，把 代入 得 ，即
，
所以所求解析式为
.（图略）
例题（2）：已知二次函数 的图像经过 , ,且他的对称轴为x=2，求这个一元二次函数的解析式，并画出根据描点法画出抛物线。
解：因为 函数的对称轴为x=2，所以 即
又因为函数过点 ， ，则可得
从而解得 ，从而得到解析式 。（图略）
3.2 两根式
两根式中的“两根”就是指一元二次函数图像中与x轴的交点，即对于一元二次函数已知与x轴的两个交点为（ ，0），（ ，0），则设一元二次函数的解析式为两根式 。在两根式的表达式中，我们可以看到一般式 里的 都没有了，将两根式去括号展开为 ，就可以发现 都可以用 构成的代数式进行表示。因此运用两根式进行求解析式，我们只要用除零点以外的任意一点的坐标，解一个关于 的方程式就可以求出解析式。当然，在已知两个零点时，我们就可以很快的得出一元二次函数的一个重要性质：函数图像的对称轴 ，这一性质对在解决一元二次函数的其他问题如求顶点坐标、一定的定义区间内的单调性等都具有重要意义。
例题 已知一元二次函数的图像经过点 求二次函数的解析式。
解法一：设一元二次函数的解析式为 ，因函数过 ，所以
解方程组可得
所以函数解析式为 。
解法二：因为函数过点 所以可设一元二次函数的解析式为 ，
又因为函数过点 ，所以可得 ，解得
所以解析式为 。
比较这两种解法，解法一要解一组三元一次方程组，解法一只要解一个一元一次方程。显然可以发现解法二比解法一的解题要方便得多。
3.3 顶点式
任何一元二次函数 都可以转化成 ，函数的顶点可以表示为 。因此在已知函数顶点为（m，n），则可设一元二次函数的解析式为顶点式 。又因为顶点的横坐标就是对称轴的横坐标 ，所以已知对称轴也可用顶点式。
例题 已知二次函数的图像的顶点坐标 ,且二次函数的图像经过点 ,求二次函数的解析式，并用描点法画出函数图像。
解法一 设一元二次函数为 ，因函数过 ， ，所以可得 ，又 ，解得 。
所以一元二次函数为
解法二 因为二次函数的顶点为 ，所以可以根据顶点式可以将解析式可以设为 。又因为二次函数的图像经过点 ，将点 代入 中，得
所以所求二次函数的解析式为 .
注意：在求函数解析式的过程中，若题目中没有明确说明函数式一元二次函数时，还应考虑 前面的系数 等于零时的情况。当然若 为零，则此函数则不再是二次函数，不属于本文的研究范围之内。
4. 对比一元二次函数和一元二次方程