按照初中数学教学大纲的要求,初中数学教学必须注重一元二次函数与一元二次方程的关系的教学,剖析其实质:一元二次方程 是二次函数 的特殊形式。(即当 时,二次函数是一元二次方程)也可以把 视为一个常数,则有 .因此它们之间有着极其密切的联系,复习中切不可把一元二次函数与一元二次方程分割开来。
4.1 一元二次函数的零点对比于一元二次方程的实数根
4.1.1 抛物线 与x轴交点的横坐标,就是相应的一元二次方程的两实数根。
例题 抛物线 与 轴交于A、B(A在B左侧)与y轴交于点C,求A、B坐标及 。
解 令 则 ,∴ , ,即A(-3,0),B(1,0),C(0,3).
4.1.2 抛物线 与x轴交点个数,就是有相应的一元二次方程的根的判别式来判断。
当 时 抛物线与x轴有两个不同交点。
当 时 抛物线与x轴仅有一个交点(或抛物线顶点在x轴上或抛物线与x轴相切)。
当 时 抛物线与x轴没有交点。
例题 当m为何值时,抛物线 与x轴相交于两点?相切?无交点?
解 令 ,则 。
就是 。
∴当 时,抛物线与x轴相交于两点。
当 时,抛物线与x轴相切。
当 时,抛物线与x轴无交点。
4.1.3 抛物线 与x轴两个交点 , 中的 与 关系实质是相应的一元二次方程的根与系数关系。
例题 已知二次函数 与x轴有两个交点A、B。点A在x轴的正半轴上,B在x轴的负半轴上,且OA=OB,求m值。