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摘要本论文受线性周期系统约化的启发，进而去探讨拟周期的情形。经典的Floquet定理已经保证了周期系统的可约性，我们希望在一定的条件下将Floquet定理推广到拟周期情形。在一定条件的基础上，拟周期系统可以用周期来一致逼近。加上频率向量满足的一些无理性条件，可以在拟周期系统上推广Floquet定理。进而，我们尝试讨论很重要的Schrodinger算子： ，其中 为拟周期函数。考虑这类重要算子的特征方程 的约化，等价于考虑其Floquet表示。结合方程的两个平方可积的解 、 ，定义 -函数，最终可以构建一个拟周期变化，将特征方程在预解集中加以约化成常系数矩阵。
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关键词 拟周期系统 Floquet定理 可约性 Schrodinger算子7255
毕业设计说明书（论文）外文摘要
Title Reducibility of linear equations with quasi-periodic coefficients
Abstract
Due to the inspiration of linear equations with periodic coefficients, we turn to the research of the quasi-periodic situation. The classic Floquet theorem has guaranteed the reducibility of periodic system, we hope that Floquet theorem can extend to the quasi-periodic system on some suitable conditions. Under some basic assumptions, quasi-periodic system can be approached uniformly by some periodic system. Then we can apply the Floquet theorem to the quasi-periodic case with some restricted frequency vectors. Moreover, we try to study Schrodinger operator: ,which is very hot all over the world. The reducibility of characteristic equation of Schrodinger operator is equivalent to that it admit Floquet representation. Combined with solutions of the characteristic equation, we construct a quasi-periodic transformation such that the characteristic equation of Schrodinger operator is reduced to a simple equation with constant coefficients in the resolvent set.
Keywords quasi-periodic system Floquet theorem reducibility Schrodinger operator
目录
1 引言 1
1.1 研究背景 1
1.2 基本概念 1
1.1.1 拟周期 1
1.1.2 可约性 2
1.1.3 Diophantine条件 2
1.1.4 算子的谱和预解集 2
2 线性系统的约化 2
2.1 周期线性系统的约化（FLOQUET定理） 3
2.2 拟周期线性系统的约化 4
2.2.1 周期函数的逼近 6
2.2.2 Floquet定理的推广 8
2.3 拟周期SCHRODINGER方程的约化 13
2.3.1 1D拟周期Schrodinger算子的一些性质 14
2.3.2 在预解集上的约化 16
2.3.2 进一步的研究 19
结论 21
致谢 22
参考文献 23
1 引言
动力系统是现代数学中一个十分活跃的分支，它的研究与发展与物理学有着紧密的联系。20世纪末，固体物理中的新成员准晶体的发现不仅引起了物理学界的极大重视，也很好地推动了数学动力系统的研究。在准晶的原子排列中，其结构是长程有序的，这一点和晶体相似；但是准晶不具备平移对称性，这一点又和晶体不同。如果说晶体对应着动力系统中的周期系统，那么准晶体结构就是对应着拟周期系统。物质结构复杂多端，也对应着动力系统中复杂的微分方程。为了能够很好地研究方程的性质，我们采用的方法就是将复杂的系统进行约化。
1.1 研究背景
1954年Kolmogorov和Aronld建立了Hamilton系统的拟周期解，这样使200年前Laplace关于太阳系的永恒性问题，获得了较为合理的解释。在线性周期系统的情况下，经典的Floquet定理可以处理其约化问题。为了更进一步研究拟周期方程，很自然地希望将Floquet定理可以推广到拟周期线性系统。在1963年Arnold提出了若干未解决问题，其中一个很重要的就是把Floquet定理推广到拟周期情形。就拟周期情形下，拟周期Schrodinger方程的研究很好地联系了物理学与动力系统。准晶体的发现也促使着拟周期Schrodinger特征方程的约化称为热门问题。上个世纪七八十年代以来，很多人从不同角度，运用各种工具尝试对拟周期Schrodinger特征方程进行约化，也取得了深入的研究成果。