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1.级数的求和方法
对于级数求和的方法,本文根据不同类型的级数进行分类整理,分为数项级数和函数项级数两大类,因为数项级数比函数项级数容易理解,所以先从介绍数项级数的相关知识开始.
1.1数项级数
1.1.1数项级数的概念
给出一个数列 ,对它的每一项项依次用“+”号连接起来的表达式
,
称为数项级数,这里的 就是它的通项.数项级数也常记为 或写成 .
数项级数的前 项和,记
,
称它为数项级数的前 项和,也称作部分和.
如果数项级数的部分和数列 收敛于 ,那么数项级数是收敛的, 记为数项级数的和,记为
若 是发散数列,则数项级数是发散的.
1.1.2数项级数的收敛性及证明方法
对于数项级数的求和,首先判断数项级数的收敛性,对于收敛的级数,级数的和等于其部分和数列收敛的值,接下来就给出判断数项级数的一般方法.
方法一:定理1 (比较判别法)有两个正项级数 ,源^自,751"文'论.文]网[www.751com.cn与 ,且 .都有
则1）如果级数 收敛,那么级数 收敛;
2）如果级数 发散,那么级数 发散.
(比较判别法的极限形式):有两个正项级数 与 （ ）,且 ,则
1）当 时, , 同时收敛或发散;
2）当 时,级数 收敛时,级数 也收敛;
3）当 且级数 发散时,级数 也发散.
方法二:定理2 (柯西判别法)设 为正项级数,且存在某正数 及正常数 ,
1） 有 (常数） ,则级数 收敛;
2）若存在无数个 ,有 ,则级数 发散.
(柯西判别法的极限形式):设 为正项级数,且
,则1)当 时,级数 收敛;
2)当 时,级数 发散.
方法三:定理3 (达朗贝尔判别法[1} )有正项级数 .且存在某正整数 及常数 ,
1）若 有
则级数 收敛( 为常数).