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摘要：数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是高等分析里大部分思想和理论的根源．人所共知，常微分方程从它产生的那天起，就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具．它的发展历史也是跟整个科学发展史大致同步的．7200
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关键词：常微分方程；发展；历史
The History of the Ordinary Differential Equation
Abstract: The history of mathematical development shows that mathematics analysis is the vital branch of mathematics in the past 300 years. The differential equation is the heart of the mathematical analysis, and it is the root of the theories and ideas in higher analysis. It is well known that the ordinary differential equation from its generating is the power tool to research the change rule of the world, change rule is the human social structure, the ecological structure and the engineering problem. The development history is also roughly synchronized with the whole science.
Key words: Ordinary differential equation; Development; History
目 录
摘要 1
引言 2
1.常微分方程发展的萌芽阶段 3
2.常微分方程积分法的个别探索 4
2.1常微分方程学科的诞生 4
2.2分离变量法的产生 4
2.3一阶方程解法的初步研究 5
2.4二阶方程的解法 6
2.4.1降阶法的发现 6
2.4.2黎卡提方程的讨论 6
2.4.3引入新变量解二阶方程 7
2.4.4积分因子法的适用条件 7
2.5常系数线性齐次方程的解法 8
2.6新概念的产生 8
3.新概念和新方法的产生 10
3.1贝塞尔方程始末 10
3.2刘文尔公式始末 11
3.3级数解的产生 11
3.4斯图姆的开创性发现 12
3.5解的存在性与唯一性的探讨 13
3.5.1哥西的讨论 13
3.5.2刘文尔带来的新思考 14
3.5.3李普希条件 15
3.5.4皮亚拿和比卡的证明 15
3.5.5结论的达成 15
3.5.6唯一性的充要条件的获得 15
3.5.7李雅普诺夫运动稳定性理论的创立 16
4.常微分方程定性理论蓬勃发展的阶段 16
5.常微分方程全面发展的阶段 17
6.总结语 18
参考文献 20
致谢 21
常微分方程的发展史 引言
任何一门科学的发展都伴随着对应着的史学的研究，通过梳理研究该门学科的发展史，使人们明白一门科学的发展需要几代人的共同努力，而其起源似乎看起来非常偶然甚至有些微不足道.但正是这些灵感的迸发和及时的研究交流促成了一门科学最初的存在，甚至可能因此影响若干年后人们的日常生活.常微分方程发展史的研究到目前来看还是比较全面的，但出于个人的想法不同，同样一段历史不同的人去整理能得到不同的历史脉络.
曾任华中师范大学副校长的邓宗琦教授在华中师范大学学报上发表的“常微分方程史略”一文中，把常微分方程的发展史分为五个阶段：第一阶段是十七世纪前半期，是常微分方程发展的萌芽阶段．第二阶段是十七世纪后半期到十八世纪末，即常微分方程发展成为一个数学分支的阶段．在这个阶段，可化为积分的方程的基本类型已被研究明白，如果精确解找不到就求近似解．第三阶段是十九世纪上半期．这个阶段数学分析的新概念和新方法，极大地影响了微分方程理论的发展．这是建立常微分方程理论基础的阶段．第四阶段是十九世纪八十年代至二十世纪二十年代，是常微分方程定性理论蓬勃发展的阶段．第五阶段是二十世纪三十年代至现在，即常微分方程全面发展的阶段 ．现在的主流观点是把常微分方程的发展历史划分为四个阶段：第一阶段是以求通解为主要研究内容的经典阶段，这一阶段出现了解常微分方程的方法，如无穷级数和待定系数法、分离变量法，即对特定方程的具体求解.第二阶段是以定解问题的适定性理论为研究内容的适定性理论阶段，这一阶段开始的标志是1685年，大数学家莱布尼兹向数学界推出求解方程 的通解的挑战问题，且直言自己研究多年未果，这极大鼓励了众多数学家的研究热情.第三阶段以解析理论为研究内容的解析理论研究阶段，这一阶段的主要成就是微分方程的解析理论，用幂级数和广义幂级数解法求出一些非常重要的二阶线性方程的级数解,并得到极其重要的一些特殊函数.第四阶段以定性与稳定性理论为研究内容的定性理论研究阶段，常微分方程的发展稳定下来，并不断取得众多的优秀成果 .