探讨余弦定理的几何意义可以从分析勾股定理的几何意义入手,以学生已经学过的数学知识和已经具备的数学经验为起点,通过类比、猜想和构造进一步推导出余弦定理的几何意义.
(1)类比:从 分别表示一段线段的长度这一角度出发, 可以分别表示为边长为 的正方形的面积,如图1,以 的三边分别向三角形的外侧作三个正方形,发现正方形 的面积等于正方形 与 的面积之和.那么我们类比勾股定理与余弦定理公式,源!自%751>文)论(文]网[www.751com.cn,勾股定理: ,余弦定理: ,比较两个公式等号的两边,发现余弦定理比勾股定理在等式右边多减去 ,剩余的部分一致.
(2)猜想:余弦定理中 也可能表示三个正方形的面积, 可能表示图形中某一个长方形的面积,如果以一个斜三角形 的三边分别向外侧作三个正方形 ,这三个正方形面积之间可能存在某种类似于图1中的联系.
(3)构造:将余弦定理向勾股定理的形式转化,有
.探究 所代表的图形含义,以三角形三边顶点 向对边作垂线,交三角形三边于点 ,交三正方形于 .
(4)推导:以锐角三角形为例, 如图2-2所示,可得矩形 与矩形 的面积相等,都为 ;矩形 与矩形 的面积相等,都为 .因此,有
, 由图2-2可知, ,故 .
通过上述推导过程,既得以证明余弦定理,又揭示了余弦定理中所蕴含的几何意义.