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2.3 数形结合在解题时应注意的问题
在运用数形结合思想解题时我们不仅要注意上述三条原则,还要注意题目中是否存在其他会导致解题结果不准确的外部因素.下面,我来介绍在运用数形结合思想在解题时应该注意的几个问题:
（1）确保将“数”转化为“形”时所绘制的图形的准确性,虽然有时候我们只需要绘制草图理清思路即可,但是有时候不准确的草图会对题目的推导产生不利的影响.比如在一定范围内比较指数函数和幂函数的交点问题,原本正确是三个,但是由于没有进行数据的计算而仅仅徒手绘制草图,从而导致结果为两个或一个,这样的错误原本是可以避免的,这就是不重视数形结合转化时数据和图形的准确性所导致的结果.
（2）确保在“数”“形”转化时将题目所要求的所有情况都表示出来,避免出现结果的缺失和遗漏.比较典型的是根据题目给出的数学语言描绘出相应的几何图形,这时候就要观察是否只能绘制出一种几何图形还是有多种可能性;同样的,再将几何图形数据化转化为代数问题时,也要对不同情况的几何问题罗列不同的代数关系式,避免出现条件的遗漏.
（3）在解题时往往在不同的情况会给出不同的条件,从而我们绘制的图形也会有不同的变化,导致图形具有时效性.比如对一个带有绝对值的一次函数,题目给定的未知数的取值范围不同,我们所绘制的相应图像也就不同,从而与之对应的代数问题的结果也会变得不一样.因此,我们要注意题目给我们的要求和条件到底有哪些,不凭自己的主观臆断进行图形的绘制与解题,确保解题的准确性.
3 数形结合思想在中学数学中的应用
3.1 数形结合思想在集合中的应用
3.1.1 利用维恩图解决集合之间的关系问题
维恩图:一般情况我们用圆来表示集合,两个圆相交则表示两个集合有公共的元素,两个圆相离就表示两个集合没有公共的元素.利用维恩图能直观地解答有关集合之间的关系的问题.
例1．某校举行秋季运动会,学生中至少参加一项比赛的:跑步100人,跳远80人,铅球30人;至少参加两项的:跑步跳远50人,跑步铅球20人,跳远铅球10人;三项都参加的5人,试计算参加运动会的总人数.
解:我们用圆A、B、C分别表示参加运动会三项比赛的人数,那么三个圆的公共部分正好表示同时参加三项比赛的人数.用n表示集合的元素,则有: