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摘 要：本论文是在学习欧氏环基础知识的前提下，为了更加深刻地对欧氏环相关知识的了解，进一步针对欧氏环的性质，以及与欧氏环相关的定理和结论进行探讨研究.本论文主要采用在指导老师的指导下，通过查阅资料，文献调研和理论推导结合思想的方法来研究，主要探究了欧氏环与强欧式环，以及欧氏环与主理想环，唯一分解整环之间的关系，通过对欧氏环的探讨，结合欧氏环的相关性质定理以及结论，研究欧氏环在其他学科的一些知识上的应用.关键词： 欧氏环；强欧氏环；主理想环；唯一分解整环.7629
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The Research of Euclidean Ring
Abstract: This paper is on the premise of learning basic knowledge of Euclidean ring, in order to more deeply understanding of Euclidean ring related knowledge, according to the properties of Euclidean ring, and Euclidean ring theorems and conclusions were studied. This paper mainly uses under the guidance of instructors, through consulting data, the method of literature investigation and theoretical derivation combining ideas to study, mainly explores the Euclidean ring and strong Euclidean ring, and Euclidean ring with principal ideal ring, the relationship between the unique factorization domain. Through to the Euclidean ring, combined with the related properties of Euclidean ring theorem and conclusion, to study the Euclidean ring some application in other disciplines knowledge.
Key words: Euclidean Ring; Strong Euclidean Ring; Principal ideal
ring;Unique factorization domain.
引言欧氏环在近世代数中占据着非常重要的作用,学习近世代数就必然要接触到群，环，域等概念.近世代数中的环，域，理想等概念都是比较难理解的内容.在欧美,俄罗斯等国家近世代数的教材中对欧氏环及其应用一直相当重视.在应用数学中也日见其重要性,欧氏环对其他学科的一些知识的学习也很有帮助，尤其在物理理论，计算机学科等其他学科中更有广泛的应用，因此学习欧氏环是很有必要的.
邢伟先生在《近世代数中关于欧氏环的应用》中提到欧氏环是近世代数的重要内容,而欧氏环作为工具深受广大师生的喜爱,特别是高校的老师,命题专家对欧氏环也情有独钟;《近世代数》第三版第四章有关于欧氏环的内容;南京农业大学工学院董井成教授发表的GAP在近世代数教学中的应用，就涉及到关于欧氏环的作用以及欧美和俄罗斯等国家的《近世代数》中对欧氏环有相当的描述，这些都是研究成果，文献[1]和文献[6] 主要引入了欧氏环基本概念,文献[10]，[12]和文献[13]主要介绍了欧氏环的性质定理，并研究了欧氏环与强欧氏环的联系.
为了进一步对欧氏环的相关性质，定理进入更深了解，就需要从欧氏环的定义，一些基础知识进行总结和推理，目前已有大量的文献对欧氏环进行了相关的研究，本文在其他相关文献的基础上，针对欧氏环的相关定理结论做了分析总结，主要包括：欧氏环与强欧氏环的关系，以及欧氏环与主理想环，唯一分解整环之间的联系，有关欧氏环的性质和结论对于解决一些物理理论及计算机学科的问题，具有一定的现实意义.
1．欧氏环的基本理论
定义1.1 设非空集合 有两个代数运算，一个叫做加法（一般用+表示），另一个叫做乘法，如果
（1） 对加法作成一个加群；
（2） 对乘法满足结合律；
（3） 乘法对加法满足左右分配律；
其中 为中任意元素，则称 对这两个代数运算作成一个环.
定义1.2 阶大于1，有单位元且无零因子的交换环称为整环.