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定义1.3 设 是一个有单位元的整环，如果
(1) 有一个从 的非零元集 到非负整数集的映射 存在；
(2) 这个 对 中任意元素 及 ,在 中有元素 使
或 ( )< ( ),
则称 关于 作成一个欧氏环.
定义1.4 设 是一个整环，若 多项式为欧氏环，则 称为一个强欧式环.
定义 1.5 设 是一个有单位元的整环， ,元 称为 和 的最大公约元，假如
(1)
(2)对于任何 若 则 的最大公约元记为 .
定义 1.6 设 是整环，如果 中每个既不是零又不是单位元的元素都能唯一分解，则称 为唯一分解整环.
定义1.7 如果整环 的每个理想都是主理想，则称 是一个主理想整环.
定义1.8 若多项式环 多项式为主理想环，则称 是强理想环.
引理 整环 有单位元 存在 ,
使 ={ | }.
证明 必要性显然，下证充分性
因为 ，因此 使 ，使 ，则 ，
因此 是 的单位元。
因为 是 的单位元，所以 ，因此 .由于为无零因子环，因此消去律成立，从而 ，即 是 的单位元.
引理1.2 若整环 可以写成如下形式： ，则 有单位元.
证明 由引理1.1可知充分性成立，即 有单位元.
事实上，设 是 中所有元素在之下的象中最小的,
其中 ，由定义1 ，使
因为 是最小的，因此 ,即 ，从而 .
欧氏环 可以写成的 形式.由引理1.1, 有单位元，故命题为真.
引理 设 是一个主理想整环，若存在序列里 ，每
证明 由于 是 的真因子，对这些元素中的每一个作主理想，必得令
个元素都是前一个元素的真因子，则该序列一定是一个有限序列.
则易知 是 的主理想，但由于 是主理想整环，故可设
由于 ，故 属于某个 ，下证是序列 中最后一个元素.
若不然，设在(1)中还有 ，则由于 ，
因此 ，从而 ，这与 是 的真因子矛盾.
引理1.4 主理想整环中不可约元生成的理想是极大理想.
证明 设 是主理想整环中的一个不可约元，而 是 的一个理想，且