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1.1关系
定义1.1.1[2] 设 和 是两个集合,集合 称为集合 与集合 的笛卡儿积,记作 ,读为 叉乘 .
定义1.1.2[2] 设 , 是两个集合.如果 是 与 的笛卡儿积 的一个子集,即 ,则称 是从 到 的一个关系.
定义1.1.3[2] 设 是从集合 到 的一个关系,即 .如果 ,则我们称 与 是 相关的,并且记作 ,如果 ,则 的子集
叫做集合 对于关系 的像集,或者简称为集合 的像集,或称为集合 的 像,并且记作 , 称为关系 的值域.
定义1.1.4[2]已知 ,点 ,定义 的原象 为集合 ,而已知 的一个子集 ,定义 的原象 为集合 .
对于函数 ,点 的原象是在 中经过 映射到 的点的集合.而集合 的原象是 中经 映射到 上的点的点集.
定义1.1.5[2]设 是从集合 到集合 的一个关系,即 .这时笛卡儿积 的子集 是从集合 到集合 的一个关系我们称为关系 的逆,并且记作 .如果 ,那么 的子集 是集合 的 .
定义1.1.6[2]设 是从集合 到集合 的一个关系,即 , 是从集合 到集合 的一个关系,即 ,集合
,是迪卡儿积 的一个子集,即从集合 到集合 的一个关系,此关系称为关系 与关系 的复合或者积,记作 .
定理1.1.1[2]设 是从集合 到集合 的一个关系, 是从集合 到集合 的一个关系, 是从集合 到集合 的一个关系.则:
证 (1)设 意即 这就意着当且仅当 ,而这又当且仅当 ,也就是 .所以我们证明了 .
(2)和(3)的证明都像(1)同样根据定义显然可证.
例1.1.1若 ,定义为 试求 、 的原象.
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