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摘 要：函数不等式是微积分学中普遍存在的不等式,在分析学中有着广泛的应用.而且函数不等式的证明方法灵活多样.对于函数不等式的积分证明方法的研究,不仅可以方便地解决一些函数不等式的证明,而且能够把初等数学的相关知识与高等数学的相关知识结合起来.本论文总结概述了证明函数不等式的若干方法,并通过对具体实例的分析,探讨了用积分法证明函数不等式的思想了.
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关键词：微积分;函数不等式;积分证明;证明方法7920
Proof of integral function inequality
Abstract: Inequality function is widespread in calculus, has been widely used in the analysis. And flexible function inequality proof method. For integral function inequality proof methods of research, not only can easily solve the inequality proof of some functions, but also the elementary mathematics knowledge combined with higher mathematics knowledge. This article summarizes summarizes several methods to prove function inequality, and through the analysis of specific examples, discusses the idea of using integral method to prove the function inequality.
Key words: Calculus;Function inequality;Integral;That method.
目 录
摘 要 1
引言 2
1. 预备知识 3
1.1 函数不等式的概念 3
1.2 函数不等式的分类 3
1.3 函数不等式的几种证法 3
2. 函数不等式的积分证法 4
2.1 积分法证明函数不等式的思路 4
2.2 函数不等式的积分证法举例 4
2.3 积分法证明函数不等式的注意事项 8
3. 函数不等式的特殊积分证法 8
4. 结束语 10
参考文献 12
致谢 13
函数不等式的积分证明引言
函数不等式是数学中应用比较广泛的不等式.而它的证明是高等数学与数学分析学习中的一个重点和难点,也是研究与考试中常见的一类题型.函数不等式的证明涉及到微积分的许多知识,证明方法灵活多样,技巧性和综合性较强.函数不等式的证明与研究,使数学不同分支架起了桥梁,对于创造思文有很大的帮助,有助于对理论知识的理解和应用,同时也对进一步学习和深造有所帮助,对于提高我们的思文,技能和技巧也是很有益的.
很多文献对函数不等式的积分证法进行了讨论,文献[1]通过列举考试试题来介绍函数不等式的积分证法;文献[2]归纳总结了函数不等式的几种证明方法;文献[3]、[4]、[5]、[6]介绍了积分在不等式证明中的具体应用；文献[7]、[8]、[9]、[10]中的相关内容包含了函数不等式的类别及题解方法.
本文在上述文献的基础上,对函数不等式的类别进行了大致的总结归类,对不同类别的函数不等式的积分证法进行了详细介绍,并且对函数不等式的积分证法进行了拓展.利用定积分的性质进行函数不等式的证明.
1.预备知识
1.1函数不等式的概念
函数的定义：设 都是非空集合， 是从 的一个对应法则，那么从 的映射 就叫做函数，记作 ，其中 集合 叫做函数 的定义域.用不等号将两个函数表达式连结起来所成的式子就叫作函数不等式.
1.2函数不等式的分类
在学习及解题过程中,常见的函数不等式有三角函数不等式,反三角函数不等式,指数函数不等式,对数函数不等式,幂函数不等式.
1.3函数不等式的几种证法
利用函数的单调性证明函数不等式,利用函数的凹凸性证明函数不等式,把多参数不等式转化为一元函数不等式进行证明,利用函数的极值证明不等式,微分中值定理转化证明函数不等式,用泰勒公式解决函数不等式的问题及牛顿—莱布尼兹公式的使用.