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定理2.2 当线性方程组的系数矩阵与它的增广矩阵的秩相同时，方程组有解；当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1时，方程组无解.
定理2.3 矩阵的秩是 的充分必要条件是矩阵中至少存在一个 阶子式不等于零，与此同时它的所有 +1阶子式全为零.
性质2.1 设 都为 阶矩阵，则
证明 ：因为 的解一定是 的解，故 的基础解系为 的基础解系一部分，
性质 2.2 假设 与 都是 矩阵，则 .
证明 假设 和 的列向量为 和 ，其中
又设 的秩分别是 因此不妨设
的极大线性无关向量组,
线性表示，同时可由线性表示.故 .
性质 2.3 设 是两个 阶方阵，则
证明 当 其中有一个为零时，命题显然成立.
假设 ，则 有 阶子式 有 阶子式 因此