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证明 由于 在 上连续，因此存在最大值 和最小值 .由
，使用积分不等式性质得到
或者再由连续函数的介值性，至少存在一点 使得
，
证毕.定理2.2[1]（积分第一中值定理的推广）若 与 都在 上连续，且 则至少存在一点 ，使得
.证明 不妨设 ， 这时有
（1）
其中 在 上的最大、最小值.有定积分的不等式性质，得到
若 ，则由上式知 ，从而对任何的 ， 式
都成立. ，则得
由连续函数的介值性，必至少有一点 ，使得证毕.
定理2.3[13]（第一积分中值定理的改进）若 在 上连续，则至少存在一点 ，使得
证法一 因为在 上 连续，所以存在 ，有 为最小值， 为最大值.
如果 ，则 是常值函数，任取 即可.
如果 ，考察函数 ，显然 连续且 ，
则有 ，即
同理可得 故有 .
由连续函数介值性，至少存在一点 ，使得即 .
证法二（利用拉格朗日中值定理证明） 已知函数 在 上连续, 假设 是 的原函数， 由于 在 上存在导函数 ，所以 在 上连续, 在 上可导，所以由拉格朗日中值定理可知：在 上至少存在一点