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        例如,点集 有两个聚点 ;点集 只有一个聚点 ,又若 为开区间 ,则 内每一点以及端点 都是 的聚点;而正整数集 没有聚点,任何有限数集也没有聚点.

        聚点定理:实轴上的任一有界无限点集 至少有一个聚点.

    证 因 为有界点集,故存在 ,使得 ,记 .

    现将 等分为两个两个子区间,因 为无限点集,故两个子区间中至少有一个含有 中无穷多个点,记此子区间 ,则 ,且 .再将 等分为两个子区间,则其中至少有一个子区间含有 中无穷多个点,取出这样的一个子区间,记为 ,则 ,且 .将此等分子区间的手续无限地进行下去,得到一个区间列 ,它满足 , ,即 是区间套,且其中每一个闭区间都含有 中无穷多个点.

    由区间套定理,存在唯一的一点 ,于是由区间套定理的推论,对任给的 ,存在 ,当 时有 .从而 内含有 中的无穷多个点,有聚点定义可知, 为 的一个聚点.

    3利用闭区间套定理证明命题的技巧和规律

    通过上节教材 上用闭区间套定理证明柯西收敛准则和聚点定理的经典方法,我们可以总结得这一经典方法如下:

    3.1 寻找一个具有某种性质 的点(数)

    步骤:  (1) 找一个闭区间 ,使它具有某一与 相应的性质 ;

           (2) 证明将 等分为两个闭区间,则至少有一个闭区间 也具有性质 ;

           (3) 继续等分得到一系列闭区间 ,它们满足闭区间套定理的两个条件,同时,每一个闭区间都具有性质 ,所以,存在唯一的一个数 属于所有闭区间;

           (4) 证明 具有性质 .

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