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定义3.1.1 假设E、F是半序Banach空间， ， ，若对任意的x，y∈D， ，均有 ，则称 是增算子。
定义3.1.2 假设E是半序Banach空间， ， ，
（1）若 满足 ，则称 是算子方程 的下解，简称 是 的下解。
（2）若 满足 ，则称 是算子方程 的上解，简称 是 的上解。
定理1.1 假设E是半序Banach空间， ， ， ， 。若
（1） 是增算子；
（2） 是 的下解， 是 的上解； （3） ；
（4） 是 中的相对紧集，则
（1） 在D中存在最小的不动点 ，最大的不动点 ，即 ， 都是 的不动点，并且若 也是 的不动点，则 ；
（2）若分别以 ， 为初始元素，作迭代序列
成立。（参见文献7）证明：
由条件（1），条件（2），式（3.1）和 ，可得式（3.2）成立。由式 （3.1）和式（3.2）知， 。由条件（4）， 也是相对紧集。在 中，令 ，由条件（4）有 。同理，存在 ，使得 。
下证 ， 分别是 在 中的最小不动点和最大不动点。
假设 ，使得 。则由结论（1）有 ，即 。
再以 作用之，有 。由数学归纳法，有 ，从而有 。
现在我们考虑Cauchy问题